Integral

03.06.2012, 00:19

Shor-ty

Integral

Hallo zusammen,

folgender Term ist gegeben

$\begin{eqnarray*} P(Z) = \int_0^1 \! Z^a \cdot (1-Z)^b \, dZ \end{eqnarray*}$

Kann man $\begin{eqnarray*} Z^a \end{eqnarray*}$ irgendwie in die Klammer bringen und es so umformen damit man das Integral als Summenfunktion hat, umd dann das Integral zu splitten?

Ansonsten welche Gesetze müsst ich anwenden um das Integral zu brechnen? Hab leider grad gar kein Mathebuch zu Hand was mich sehr stört ....

Grüße Tobi

03.06.2012, 00:41

Shor-ty

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RE: Potenzgesetz??
Ich bin wohl etwas zu fertig um noch nen Gedanken zu fassen:

$\begin{eqnarray*} P(Z) = \int_0^1 \! \underbrace{Z^a \cdot (1-Z)^b}_{(Z^a - Z^a \cdot Z)^b} \, dZ \end{eqnarray*}$

Daraus folgt logischerweise:

$\begin{eqnarray*} P(Z) = \int_0^1 \! (Z^a - Z^{a+1})^b \, dZ \end{eqnarray*}$

So und nun weiß ich grad auch nichmehr weiter - wird wohl Zeit ins Bett zu gehen!

03.06.2012, 00:46

Mulder

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RE: Potenzgesetz??
Sofern a und b natürliche Zahlen sind, kannst du einfach a mal partiell integrieren.

Edit: Und ab in die Analysis damit.

03.06.2012, 00:58

Shor-ty

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RE: Potenzgesetz??
a und b sind leider reele Zahlen!

Und darf ich überhaupt Z^a in die Klammer ziehen? wegen dem ^b - bin grad ehct neben der Spur!

03.06.2012, 01:25

Mulder

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RE: Potenzgesetz??

Zitat:

Original von Shor-ty
Und darf ich überhaupt Z^a in die Klammer ziehen?

Nein, das ist völlig falsch.

Also wenn a und b wirklich beliebige reelle Zahlen sein sollen, bin ich grad auch überfragt. Dann geb ich den Thread mal lieber ab. Wobei: Mit negativen a,b wird es ja schwierig, weil dann der Integrand nicht auf ganz [0,1] definiert ist und man sich dann fragen muss, ob das Integral überhaupt existiert.

Die Betafunktion hätte ich sonst noch in den Raum geschmissen...

03.06.2012, 01:28

Shor-ty

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RE: Potenzgesetz??
Hi,... ich bin heut echt voll am Sender das ich sogar das Integral falsch geschrieben hab!

$\begin{eqnarray*} P(Z) = \int_0^1 \! Z^{a-1} \cdot (1-Z)^{b-1} \, dZ \end{eqnarray*}$

wobei a und b nur zwischen 0-1 laufen, also die Exponenten -2 bis -1 annehmen.

03.06.2012, 13:00

Shor-ty

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RE: Potenzgesetz??
Um das ganze vielleicht abzurunden. Es ist ein Teil der Beta-PDF. Die Funktion sieht wie folgt aus:

$\begin{eqnarray*} P(Z) = \frac{Z^{a-1} (1-Z)^{b-1}}{\int_0^1 \! Z^{a-1} \cdot (1-Z)^{b-1} \, dZ} \end{eqnarray*}$

Die Gleichung gilt es zu lösen nur wie?

Wobei a und b Funktionen von Zmean und Zvar sind

$\begin{eqnarray*} a = \tilde{Z}\left[ \frac{\tilde{Z}(1-\tilde{Z})}{\tilde{Z''}} - 1\right] \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} b = (1 - \tilde{Z})\left[ \frac{\tilde{Z}(1-\tilde{Z})}{\tilde{Z''}} - 1\right] \end{eqnarray*}$

Prinzipiell läuft Z von 0-1 und ich suche Zmean und Zvar ... ich diskretisiere quasi diese Funktion in einzelen Gitterpunkte...

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