konvexe Funktion

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03.06.2012, 10:56	fragezeichen999	Auf diesen Beitrag antworten »
konvexe Funktion Meine Frage: Gilt für eine konvexe Funktion f: f(x+y)=f(x)+f(y)? Meine Ideen: An Beispielen habe ich gesehen, dass es stimmen könnte, bin mir aber nicht sicher.
03.06.2012, 11:00	Iorek	Auf diesen Beitrag antworten »
Was für Beispiele waren das denn? Betrachte $\begin{eqnarray} f:\mathbb R\rightarrow\mathbb R,~x\mapsto x^2 \end{eqnarray}$ als konvexe Funktion, die $\begin{eqnarray} f(x+y)=f(x)+f(y) \end{eqnarray}$ offensichtlich nicht erfüllt.
03.06.2012, 11:08	Fragezeichen999	Auf diesen Beitrag antworten »
Gilt f°(g+h)=f°g+f°h für eine konvexe Funktion f und positive Funktionen g und h?
03.06.2012, 11:18	Iorek	Auf diesen Beitrag antworten »
Wieso sollte das denn gelten?
03.06.2012, 11:29	Fragezeichen999	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich bin gerade dabei, die folgende Aussage zu beweisen: $\begin{eqnarray} g=g^+-g^- \end{eqnarray}$ ist eine integrierbare Funktion, f konvex. Ich habe bereits gezeigt, dass $\begin{eqnarray} f(\int_{} \! g^+ \, dx )<=\int_{} \! f ° g^+ \, dx \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} f(\int_{} \! g^- \, dx )<=\int_{} \! f ° g^- \, dx \end{eqnarray}$ . Nun muss ich damit zeigen, dass $\begin{eqnarray} f(\int_{} \! g \, dx )<=\int_{} \! f ° g \, dx \end{eqnarray}$ und weiß nicht, wie ich das zeigen könnte.
03.06.2012, 11:40	Iorek	Auf diesen Beitrag antworten »
Kannst du deine Notation etwas näher erläutern? Ich nehme mal an, du meinst meinst $\begin{eqnarray} g^+(x)=\max\{g(x),0\} \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} g^-(x)=-\min\{g(x),0\} \end{eqnarray}$ ? Was meinst du mit $\begin{eqnarray} f(\int g^+ \dx) \end{eqnarray}$ ? Soll das die Verkettung von $\begin{eqnarray} f \end{eqnarray}$ mit der entsprechenden Stammfunktion sein? Und was ist $\begin{eqnarray} f^0 \end{eqnarray}$ ?
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03.06.2012, 11:48	Fragezeichen999	Auf diesen Beitrag antworten »
f°g soll f verkettet mit g heißen
03.06.2012, 12:39	tmo	Auf diesen Beitrag antworten »
Irgendwas verschweigst du uns doch noch. Nimmt man $\begin{eqnarray} f = x^2 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} g = 1_{[0,2]} \end{eqnarray}$ (Ich gehe jetzt aufgrund fehlender Angabe mal vom Lesbesque-Maß aus, bzgl. dessen hier integriert wird), so gilt $\begin{eqnarray} f\left(\int gdx\right) = f(2)=4 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \int f\circ g dx = \int g dx = 2 \end{eqnarray}$
03.06.2012, 12:47	Fragezeichen999	Auf diesen Beitrag antworten »
Tut mir leid, ich habe vergessen, zu schreiben, dass $\begin{eqnarray} \mu(\Omega) \end{eqnarray}$ =1 gilt. g und f°g sind $\begin{eqnarray} \mu \end{eqnarray}$ -integrierbar. Statt der dx hätte ich vielleicht besser d $\begin{eqnarray} \mu \end{eqnarray}$ schreiben sollen. Vielen Dank schonmal.
03.06.2012, 13:21	tmo	Auf diesen Beitrag antworten »
Kennst du $\begin{eqnarray} \int f\circ g d\mu = \int fd(\mu \circ g^{-1}) \end{eqnarray}$ ? Damit kannst du es direkt folgern, wenn du benutzt (Folgerung aus der Konvexität), dass es eine reelle Zahl $\begin{eqnarray} \lambda \end{eqnarray}$ gibt mit: $\begin{eqnarray} f(x) \geq f(\int g d\mu) + \lambda\cdot(x-\int g d\mu) \end{eqnarray}$ Wenn du diese Ungleichung bzgl. des Maßes $\begin{eqnarray} \mu \circ g^{-1} \end{eqnarray}$ integriert, erhältst du die Behauptung.
03.06.2012, 13:34	Fragezeichen999	Auf diesen Beitrag antworten »
Die Formel kenne ich leider nicht und ich verstehe nicht so ganz, wie man nach $\begin{eqnarray} \mu \circ g^{-1} \end{eqnarray}$ integriert.
03.06.2012, 13:42	tmo	Auf diesen Beitrag antworten »
Ist $\begin{eqnarray} \mu \end{eqnarray}$ Maß auf $\begin{eqnarray} \Omega \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} g: \Omega \to \mathbb R \end{eqnarray}$ , so ist doch $\begin{eqnarray} \mu \circ g^{-1} \end{eqnarray}$ eine Maß auf $\begin{eqnarray} \mathbb R \end{eqnarray}$ . Nach dem integriert man genauso, wie man nach jedem Maß integriert. Ich muss jetzt leider mal weg. Vielleicht kannst du kurz skizzieren, wie du die Aussage für nichtnegative messbare Funktionen gezeigt hast, dann kann man dir bestimmt besser helfen.
03.06.2012, 15:29	Fragezeichen999	Auf diesen Beitrag antworten »
Um die Behauptung zu zeigen, muss ich verwenden, dass $\begin{eqnarray} f(\int_{} \! g^+ \, d\mu )<=\int_{} \! f \circ g^+ \, d\mu \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} f(\int_{} \! g^- \, dx )<=\int_{} \! f \mu g^- \, dx \end{eqnarray}$ und g=g^+ - g^- gelten. Nun muss ich zeigen, dass $\begin{eqnarray} f(\int_{} \! g^+ - g^-\, d\mu )<=\int_{} \! f \circ (g^+ - g^-)\, d\mu \end{eqnarray}$ gilt. Ich denke, das sind nur wenige Umformungen, bei denen man die Eigenschaft konvexer Funktionen braucht.
03.06.2012, 15:33	Fragezeichen999	Auf diesen Beitrag antworten »
Um die Behauptung zu zeigen, muss ich verwenden, dass $\begin{eqnarray} f(\int_{} \! g^+ \, d\mu )<=\int_{} \! f \circ g^+ \, d\mu \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} f(\int_{} \! g^- \, d\mu )<=\int_{} \! f \circ g^- \, d\mu \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} g=g^+ - g^- \end{eqnarray}$ gelten. Nun muss ich zeigen, dass $\begin{eqnarray} f(\int_{} \! g^+ - g^-\, d\mu )<=\int_{} \! f \circ (g^+ - g^-)\, d\mu \end{eqnarray}$ gilt. Ich denke, das sind nur wenige Umformungen, bei denen man die Eigenschaft konvexer Funktionen braucht.
03.06.2012, 22:41	Fragezeichen999	Auf diesen Beitrag antworten »
Vielen Dank nochmal für die Hilfe. Ich habe die Aufgabe gelöst.

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