Offene Mengen in Produkten von Hausdorff-Räumen mit mindenstens unendlicher Dimension

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Felixthecat Auf diesen Beitrag antworten »
Offene Mengen in Produkten von Hausdorff-Räumen mit mindenstens unendlicher Dimension
Meine Frage:
Hallo,
mich treibt gerade ein Problem aus den Produkten von Hausdorff-Räumen um:
Seien Hausdorff-Räume, eine mindestens unendliche Menge, der Produktraum. Dann ist eine Subbasis der Produkttopologie auf .
Da für jede offene Menge aus der Produkttopologie von gilt:
, folgere ich, dass für jede offene Menge gilt:
Für fast alle íst , d. h. nur endlich viele Projektionen können echte Teilmengen des entsprechenden Koordinatenraums sein. Ist dies korrekt oder gibt es da eine Kleinigkeit, die ich übersehen habe?

Für den Fall, dass dies korrekt ist, habe ich nun folgendes Problem:
In Hausdorff-Räumen sind alle einpunktigen Mengen abgeschlossen. Da jedes Produkt von Hausdorff-Räumen wieder ein Hausdorff-Raum ist, gilt das also auch für unseren Raum . Sei also , eine solche abgeschlossene Menge in . Dann ist bekanntlich die Komplementärmenge
offen.
Hier aber ergibt sich der Widerspruch zur obigen Aussage: Offensichtlich sind alle Projektionen der offenen Menge echte Teilmengen der Koordinatenräume .

Meine Ideen:
Leider konnte ich in keinem der mir zur Verfügung stehenden Bücher (Querenburg 3. Auflage, Kelly "General Topology" und Bartsch "Allgemeine Topologie I") eine Bestätigung der o. g. Tatsache finden, dass die offenen Mengen von , von der obigen Form sind, d. h. STETS nur endlich viele Projektionen echte Teilmengen der Koordinatenräume sein können. Dass alle einpunktigen Mengen in Hausdorff-Räume abgeschlossen sind, findet sich in Querenburg oder Bartsch.
Irgendwo scheine ich etwas übersehen zu haben. Kann mir da jemand helfen? Vielen Dank!
Felixthecat Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo,

ich habe gerade gesehen, dass bei zwei Produkten der Index einen Tipfehler aufweist. Es heißt natürlich und NICHT .

Hat tatsächlich keiner eine Idee, was da faul sein könnte? Oder irgendeinen Tip, wie man das ganze noch angehen könnte?

Viele Grüße

Felixthecat
carm561 Auf diesen Beitrag antworten »

Wie kommst du auf die Komplementärmenge?
Felixthecat Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo carm561,

Vielleicht liegt da ja der Fehler.
Anhand eines Beispiels war mein Gedankengang zur Komplementärmenge folgender:

Sei der Raum aller Folgen in , dann ist in meiner Frage der Index , und für alle .

Sei jetzt ein Punkt in . Dann besteht die Komplementärmenge von aus , dem Raum der Folgen in .

VG

Felixthecat
carm561 Auf diesen Beitrag antworten »

Liegt das Element in ?
Liegt es in ?
Felixthecat Auf diesen Beitrag antworten »

 
 
Felixthecat Auf diesen Beitrag antworten »

Man entfernt also aus dem unendlichdimensionalen Raum genau den Punkt , d. h. den Ursprung.
carm561 Auf diesen Beitrag antworten »

also nach meinem Verständnis ist die Menge aller Folgen, bei denen jedes Folgenglied in ist. Insbesondere ist jedes Folgenglied ungleich Null. Wie kann dann darin sein?
Felixthecat Auf diesen Beitrag antworten »

Oha, Du hast Recht!

Also muss ich nochmal sehr intensiv über die Komplementärmenge nachdenken!
Vielen Dank für deine Hilfe! Ich melde mich gleich nochmal.

Viele Grüße

Felixthecat
Felixthecat Auf diesen Beitrag antworten »

Und damit ist natülich klar, wo der Fehler in meiner Überlegung steckt. Natürlich ist in enthalten, aber nicht in .
Ich denke ich habe es verstanden. Vielen Dank nochmal!

Gruß

Felixthecat
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