Faktorisierungslemma (Beweis)

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Gast11022013 Auf diesen Beitrag antworten »
Faktorisierungslemma (Beweis)
Meine Frage:
Es sei ein Wahrscheinlichkeitsraum und ein messbarer Raum. Desweiteren seien eine Abbildung und eine reelle Funktion. Dann ist Z genau dann -messbar, wenn es eine -messbare Abbildung gibt, so dass .

Meine Ideen:
Hallo, liebes Forum!

Also die Beweisrichtung "" ist ja trivial: Ist so ist Z natürlich messbar.

Aber die andere Beweisrichtung macht mir Probleme.

Ich habe gelesen, dass man die Aussage nach einem "Standardverfahren" lösen kann, das so abläuft:

Zitat:
Meintrup
Wir wollen eine Behauptung für eine Funktionenklasse beweisen:

1.) Wir zeigen die Behauptung für alle Indikatorfunktionen

2.) Wir benutzen Linerität, um die Behauptung für alle zu zeigen (positive Treppenfunktionen)

3.) Aus dem Satz von de monotonen Konvergenz folgt die Behauptung für alle (positiven messbaren Funktionen)

4.) Gelegentlich können wir wegen noch einen Schritt weiter gehen und die Behauptung auf diesem Weg für alle integrierbaren numerischen Funktionen zeigen.



Schritt 1 habe ich versucht:

Es sei . Dann muss sein, denn Z ist -messbar. Es gibt also ein mit . Setze dann . Dann hat man also so eine Funktion gefunden.

Wie kann man jetzt mit Schritt 2 weitermachen: Damit tue ich mich noch schwer.


Schritt 2: Jetzt soll Z eine nichtnegative Treppenfunktion sein, also wohl

.

Und nun?

Edit: Kann man dann definieren?

Danke für eventuelle Hilfe!

Viele Grüße
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