Eigenwert und Eigenvektor

28.01.2007, 14:15

mapo

Eigenwert und Eigenvektor

Kann einer mit simplen woerten, wozu Eigenwert und Eigenvektor dienen? Wie sie zu berechnen sind, ist mir bekannt, doch wozu dient es genau?

28.01.2007, 14:16

tigerbine

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RE: Eigenwert und Eigenvektor
Zum Beispiel zum diagonalisieren von Matrizen. Mit diesen lässt sich viel einfacher Rechnen.

28.01.2007, 14:19

mapo

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Was?

28.01.2007, 14:31

tigerbine

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Kennst Du denn Matrizen?

28.01.2007, 14:36

mapo

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Zitat:

Original von tigerbine
Augenzwinkern

Kennst Du denn Matrizen?

Ja schon, aber was meinst du mit diagonalisieren?

28.01.2007, 14:39

mapo

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Besser gefragt, wieso setzt man eine Matrix mit einer Zahl gleich.

$\begin{eqnarray*} Ax = Lambda x \end{eqnarray*}$

28.01.2007, 14:41

tigerbine

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Wenn alle Matrixeinträge außerhalb der Diagonale gleich 0 sind

$\begin{eqnarray*} D=\begin{pmatrix} \lambda_1 & 0&0 \\0&\lambda_2&0 \\0&0&\lambda_3 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Zur nächsten Frage:

macht man gar nicht

A: x -> y , d.h. ein Vektor x wird durch A auf einen Vektor y abgebildet. Bei Eigenvektoren stellt sich dann y als $\begin{eqnarray*} y=\lambda x \end{eqnarray*}$ dar.

28.01.2007, 15:03

20_Cent

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Anwendungsbeispiel:

Zum Lösen von Differentialgleichungen braucht man manchmal Eigenwerte/Eigenvektoren.
z.B. beim Schwingungsverhalten einer Saite (z.B. Guitarre), das haben wir in Theoretischer Physik gemacht.

mfG 20

28.01.2007, 15:41

mapo

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Folgendes Problem

Ich hab eine Matrix, von der will ich den Eigenwert und Eigenvektor berechnen.

2 1
4 6

Das ist die Matrix. Und wenn ich den Eigenwert errechnen will, dann kommen auch zahlen raus. So 2 EIgenwerte kommen raus. Einmal

6,8284 und
1.1715

So wenn ich den EIgenvektor fuer den EIgenwert 6.8284 ausrechnen will dann muss ich ja das machen

2-6.8284x + y = 0
4x + 6-6.8284 = 0

Wenn ich aber diese Gleichungen aufloesen will, kommt nur x=0 und y=0 raus. Was uebersehe ich? Und das kann ja nicht sein da der Eigenvektor nie 0 sein darf, nur der Eigenwert

28.01.2007, 15:59

tigerbine

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$\begin{eqnarray*} M=\begin{pmatrix} 2&1 \\ 4&6 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Eigenwerte, sind die Nullstellen des charakteristischen Polynoms.

$\begin{eqnarray*} char(A)=det(A-t\cdot I) =(2-t)(6-t)-4 = 12-2t-6t+t^2-4 = t^2-8t+8 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} t_{1,2} = \frac{8 \pm \sqrt{64-32}}{2}=\frac{8\pm \sqrt{32}}{2} \end{eqnarray*}$

Jetzt ist zu lösen:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 2&1 \\ 4&6 \end{pmatrix} \begin{pmatrix}x_1\\x_2 \end{pmatrix} = t_1 \begin{pmatrix}x_1\\x_2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

und

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 2&1 \\ 4&6 \end{pmatrix} \begin{pmatrix}x_1\\x_2 \end{pmatrix} = t_2 \begin{pmatrix}x_1\\x_2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

28.01.2007, 16:19

mapo

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also ist dann 2x+1y=t1 * x ?

Dann kommt immernoch 0 raus.
Weil ich keine reelle Zahl auf einer Seite habe.

Dann sieht es folgendermassen aus:

2x+y = 6.8284x
=>
-4,8284x=-y

Die Zweite dann

4x+6y= 6, 8284y

Und da passt halt was nicht

28.01.2007, 16:30

tigerbine

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$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 2&1 \\ 4&6 \end{pmatrix} \begin{pmatrix}x_1 \\x_2 \end{pmatrix} = (4-\sqrt{8})\begin{pmatrix}x_1\\x_2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

______________________________________________________________
Wähle $\begin{eqnarray*} x_1 = 1 \end{eqnarray*}$ , da ja mind. eine Komponente von Null verschieden sein muss.

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 2&1 \\ 4&6 \end{pmatrix} \begin{pmatrix}1 \\x_2 \end{pmatrix} = (4-\sqrt{8})\begin{pmatrix}1\\x_2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow 2 +x_2 = 4 - \sqrt{8} \Rightarrow x_2 = 2-\sqrt{8} \end{eqnarray*}$

Probe:

$\begin{eqnarray*} 4+6(2-\sqrt{8}) = 16-6\sqrt{8} \text{ und } (4-\sqrt{8})(2-\sqrt{8}) = 8-6\sqrt{8}+8 \end{eqnarray*}$ ______________________________________________________________

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} -2+\sqrt{8}&1 \\ 4&2+\sqrt{8} \end{pmatrix} \begin{pmatrix}x_1 \\x_2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0\\0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 4&2+\sqrt{8} \\ 4&2+\sqrt{8} \end{pmatrix} \begin{pmatrix}x_1 \\x_2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0\\0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Deswegen ist eine Komponente frei wählbar. Das der Nullvekor auch Lösung ist versteht sich von selbst.

Sry für den Rechenfehler.

28.01.2007, 16:38

mapo

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Ja danke

29.01.2007, 12:34

mapo

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Tigerbine, du hast da ein kleinen Rechenfehler.

Du hast so gerechnet.

$\begin{eqnarray*} 6(t_1-2)x = 6t-12x \end{eqnarray*}$

Aber es ist gleichsusetzen mit:

$\begin{eqnarray*} 6(t_1-2)x => 6x(t_1-2) => 6xt-12x \end{eqnarray*}$

29.01.2007, 14:21

tigerbine

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Editiert, Lösung siehe oben

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Eigenwert und Eigenvektor

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