Eigenschaft des Erwartungswertes

28.01.2007, 14:19

stef123

Eigenschaft des Erwartungswertes

Ich bereite mich gerade auf meine Wahrscheinlichkeitsrechnungs-Prüfung vor und bin über folgende Aufgabe gestolpert

Sei $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ eine stetige Zufallsgröße mit $\begin{eqnarray*} P(X \geq 0 ) =1 \end{eqnarray*}$ . Man zeige, dass gilt

$\begin{eqnarray*} E[X]= \int^\infty_0 (1-F_X(x))dx \end{eqnarray*}$

falls $\begin{eqnarray*} E[X] \end{eqnarray*}$ existiert. $\begin{eqnarray*} F_X(x) \end{eqnarray*}$ sei die Verteilungsfunktion der Zufallsgröße.

Ich habe versucht die Definition des Erwartungswertes partiell zu integrieren, aber komme leider nicht weiter

$\begin{eqnarray*} \int_0^\infty xf(x)dx = [xF_X(x)]^\infty_0 - \int_0^\infty F_X(x)dx \end{eqnarray*}$

Das sieht nach Unendlich minus Unendlich aus. Ich vermute mal, dass der Ansatz falsch ist. Mir fällt aber kein besserer ein

28.01.2007, 21:06

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von stef123
$\begin{eqnarray*} \int_0^\infty xf(x)dx = [xF_X(x)]^\infty_0 - \int_0^\infty F_X(x)dx \end{eqnarray*}$

Das sieht nach Unendlich minus Unendlich aus.

In der Tat, genau deswegen geht es so nicht. Allerdings ist nicht nur $\begin{eqnarray*} F(x) \end{eqnarray*}$ Stammfunkrion von $\begin{eqnarray*} f(x) \end{eqnarray*}$ , sondern beliebige $\begin{eqnarray*} F(x)+C \end{eqnarray*}$ , speziell $\begin{eqnarray*} F(x)-1 \end{eqnarray*}$ :

$\begin{eqnarray*} \int\limits_0^{\infty} ~ xf_X(x) ~ \dd x = \left[ x(F_X(x)-1) \right]_{x=0}^\infty - \int\limits_0^{\infty} ~ (F_X(x)-1) ~ \dd x \end{eqnarray*}$

Das ist dann zwar richtig, aber es bleibt immer noch $\begin{eqnarray*} \lim\limits_{x\to\infty} x(F_X(x)-1) = 0 \end{eqnarray*}$ nachzuweisen, auch nicht gerade trivial.

Ich würde es eher so machen: Es ist ja $\begin{eqnarray*} x = \int\limits_0^x ~ \dd t \end{eqnarray*}$ , also gilt

$\begin{eqnarray*} E(X) = \int\limits_0^{\infty} ~ \int\limits_0^x ~ f_X(x) ~ \dd t ~ \dd x \end{eqnarray*}$

Und nun Fubini, also Vertauschung der Integrationsreihenfolge $\begin{eqnarray*} t \leftrightarrow x \end{eqnarray*}$ .

Neue Frage »

Antworten »

Eigenschaft des Erwartungswertes

Verwandte Themen