charakteristisches Polynom von f mit der Eigenschaft f=f^2

03.06.2012, 17:31	Velor92	Auf diesen Beitrag antworten »
charakteristisches Polynom von f mit der Eigenschaft f=f^2 Meine Frage: Sei $\begin{eqnarray} f \in End_K(V) \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} dim(V)< \infty \end{eqnarray}$ , sodass $\begin{eqnarray} f^2 = f \end{eqnarray}$ gilt. Bestimmen SIe das charakteristische Polynom von f. Meine Ideen: Ich weiß das hier $\begin{eqnarray} V=ker(f) \oplus im(f) \end{eqnarray}$ gilt und das $\begin{eqnarray} ker(f) \cap im(f) = \{0\} \end{eqnarray}$ ist. Ich dachte zunächst an $\begin{eqnarray} f(t)=t \end{eqnarray}$ aber dann wäre der Kern vom f = {0} und das darf nach der definition des Kerns nicht gelten nicht gelten. Oder irre ich mich?
03.06.2012, 17:35	tmo	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} V = ker(f) \oplus im(f) \end{eqnarray}$ ist schonmal ein guter Ansatz. Wenn dir jetzt noch klar ist, dass $\begin{eqnarray} ker(f) \end{eqnarray}$ gerade Eigenraum zum Eigenwert 0 ist (immer so) $\begin{eqnarray} im(f) \end{eqnarray}$ gerade der Eigenraum zum Eigenwert 1 ist (spezielle Eigenschaft der Projektion), dann steht da schon die Hauptraumzerlegung. Daraus kann man dann das char. Polynom ablesen.
03.06.2012, 17:50	Velor92	Auf diesen Beitrag antworten »
ja das hört sich logisch an Eig(f;0) + Eig(f;1) =V ist dann nicht das charakteristische Polynom f(t)=(t-0)(t-1) aber dafür gilt ja nicht f= f^2
03.06.2012, 18:45	tmo	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} t(t-1) \end{eqnarray}$ ist das Minimalpolynom. Beim char. Polynom kommen ja noch die Exponenten dazu. Die entsprechen gerade den Dimensionen von Kern und Bild.
03.06.2012, 18:47	Velor92	Auf diesen Beitrag antworten »
Dann müsste dies das charakteristische Polynom sein $\begin{eqnarray} P(t)=(t-1)^{n-1}(t-0) \end{eqnarray}$ , da die dim vom Kern 1 ist

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