Extremwertaufgabe

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Aypex Auf diesen Beitrag antworten »
Extremwertaufgabe
Unter einen parabelförmigen Bogen einer Außenwand soll ein rechteckiges Fenster mit größtmöglicher Glasfläche eingebaut werden. Der Fenstersims hat eine Höhe von 40cm. (Für die Berechnung wird der Rahmen des Fensters vernachlässigt)

Der Parabelförmige Bogen wird durch die Funktion p mi der Gleichung p(x)= -1/4x²+4 im Intervall [-4;4] beschrieben.

Skizzieren Sie den beschriebenen Sachverhalt in ein Koordinatensystem, wobei der Sims oberhalb der Abzissenachse liegt. (Bereits fertig)

Zeigen sie rechnerisch, dass die Funktion A(x)= -1/2x³+36/5x eine Zielfunktion für die Berechnung der Fensterfläche ist.

Ich komme bei der Aufgabe (unterstrichen) nicht weiter und wäre über Hilfe dankbar.
sulo Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Extremwertaufgabe
Hallo Aypex,

ich finde die Aufgabe interessant und möchte mich auch damit befassen und dir helfen, bin aber aktuell mit etwas anderem beschäftigt.

Kannst du inzwischen mal aufschreiben, was du schon an Ergebnissen hast?

smile
Aypex Auf diesen Beitrag antworten »

Ich habe bisher raus das die Breite x - (-x) = 2x ist.

Die Höhe ist f(x) -0,4.

Wenn man die Höhe ausrechnet kommt -1/4x² + 3,6 heraus.

Für den Flächeninhalt:

A(x) = (-1/4x² + 3,6) * 2x = -1/2x³ + 7,2x.

Ist etwas kurzgefasst.
sulo Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Aypex
Die Höhe ist f(x) -0,4.

Wenn man die Höhe ausrechnet kommt -1/4x² + 3,6 heraus.


Was meinst du damit? verwirrt

Wenn wir mal die angegebene Funktionsgleichung nehmen, um das Fenster zu bestimmen, dann sieht das ungefähr so aus:
[attach]24798[/attach]

Für P gilt: P(x|f(x))

Somit ist 2x die Breite des Fensters.
Was ist mit der Höhe? verwirrt
Aypex Auf diesen Beitrag antworten »

Die gleiche Zeichnung habe ich auch.
Ich denke das die Aufgabe richtig ist, habe eben nochmal mit einem Freund telefoniert (er hat die gleiche Lösung etc.)

Aber wo ich momentan fest sitze ist meine letzte Aufgabe.

Und zwar passen in einen Kasten 50 Liter Wasser herein.
Dabei ist die Höhe h doppelt so lang wie die Tiefe t.

Die Aufgabe:

Ich muss nachweisen das A(t) = 125/t + 4t² eine Zielfunktion für die
Berechnung der notwendigen Fläche ist.

Ich versuche sie momentan noch selber auszurechnen, aber bekomme es nicht hin...
dabei liegt mir die Lösung auf der Zunge
sulo Auf diesen Beitrag antworten »

Die Aufgabenstellung führt offenbar bewusst in die Irre:
Zitat:
Skizzieren Sie den beschriebenen Sachverhalt in ein Koordinatensystem, wobei der Sims oberhalb der Abzissenachse liegt.

Damit kommt man nicht auf die gegebene Funktionsgleichung. unglücklich

Das schafft man nur, wenn man den Sims unter die Abzissenachse legt und somit die Funktionsgleichung um 0,4 Einheiten nach unten rutscht.


Zu deiner neuen Aufgabe: Stelle doch mal die Zielfunktion auf. smile
 
 
Aypex Auf diesen Beitrag antworten »

Bin ich die ganze Zeit bei, aber irgendwie stell ich mich dabei blöd an unglücklich
sulo Auf diesen Beitrag antworten »

Was soll denn überhaupt minimal oder maximal werden? Und um welche Fläche geht es verwirrt
Aypex Auf diesen Beitrag antworten »

Ich schreib einfach die ganze Aufgabe auf:

Für die Herstellung eines quaderförmigen Aquariums ohne Abdeckung sollen die Maße für einen minimalen Glasverbrauch berechnet werden, wobei das Fassungsvermögen 50 Liter betragen soll und die Höhe h doppelt so lang sei wie die Tiefe t.

Weisen Sie nach, dass für die Berechnung der notwendigen Glasfläche folgende Zielfunktion möglich ist:

A(t)=125/t+4t²



Hoffe es ist damit verständlicher
sulo Auf diesen Beitrag antworten »

Ok, wir brauchen also für die HB die Oberfläche des Quaders abzüglich des Deckels, für die NBs nehmen wir zum einen die Volumenangabe, zum anderen das angegebene Verhältnis von Höhe zu Tiefe.

Versuche mal, etwas aufzustellen. smile
Aypex Auf diesen Beitrag antworten »

Also als HB habe ich erstmal A1=h*t (2mal)
A2=h*b (2mal)
A3=b*t (1mal)

Und alle 3 dann zusammenfassen Ages= A1+A2+A3

Und als NB habe ich h=2*t
t=h/2
b=(weiß ich nicht)

Ich muss aber dazu sagen das ich mit dem Thema noch nicht so gut vertraut bin, deswegen brauch ich etwas länger bzw. komme nicht weiter.
Sonst würde ich hier ja nicht fragen Augenzwinkern .
sulo Auf diesen Beitrag antworten »

Ok, das ist doch schon mal was.

Machen wir die HB konkret: O(b,h,t) = 2ht + 2hb + bt

Die erste NB: h=2t

Die zweite NB: 50.000 cm³ = ...... smile
Aypex Auf diesen Beitrag antworten »

v = h*b*t

50.000cm³ = h*b*t
sulo Auf diesen Beitrag antworten »

So ist es. Freude

Jetzt verwenden wir die erste NB, um die zweite zu vereinfachen:

50.000cm³ = 2t*b*t => 50.000cm³ = 3t*b

Und jetzt kannst du nach einer der Variablen auflösen und diese dann in der HB durch den gefundenen Ausdruck ersetzen.

smile
Aypex Auf diesen Beitrag antworten »

Wenn ich nach t umstelle kommt das raus:

50000=3t*b /:b

50000:b=3t /:3

16666,6:b=t
sulo Auf diesen Beitrag antworten »

Ich würde vielleicht lieber nach b umstellen, weil du dann die HB sofort in Abhängigkeit von t erstellen kannst.

smile
Aypex Auf diesen Beitrag antworten »

Dann kommt 50000-3t=b heraus
sulo Auf diesen Beitrag antworten »

Du meinst sicher 50000/3t = b smile

Dann haben wir also:

b = 50000/3t
h = 2t

Also setze mal in die HB ein: O(b,h,t) = 2ht + 2hb + bt

O(t) = ..... smile
Aypex Auf diesen Beitrag antworten »

Ich habe bisher O(t)= 2*(2t*t)+2*(2t*50000/3t)+(50000/3t*t)

O(t)= 4t+t²+4t+ weiter weiß ich dann leider nicht mehr
sulo Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, ich überlege auch gerade, ob ich mich vergallopiert habe.

O(t) = 2*(2t*t)+2*(2t*50000/3t)+(50000/3t*t) Freude

O(t) =4t² + 200.000/3 + 50.000/3

O(t) =4t² + 250.000/3

Dann bleibt nach der Ableitung nur: O'(t) = 8t verwirrt

Das sähe dann nach einem Randextremum aus.
Ich werde das Ganze gleich mal zeichnen. smile
Aypex Auf diesen Beitrag antworten »

Wir brauchen doch nicht ableiten

Ich muss ja nur wissen ob man die Zielfunktion A(t)=125/t+4t² benutzen kann für die Berechnung der notwendigen Fläche.

Würde ich jetzt mal so sagen.
sulo Auf diesen Beitrag antworten »

Hmm, das macht mich nicht sehr glücklich, dass ich keine vernünftige Zielfunktion habe... unglücklich


Gut, nehmen wir die gegebene Funktionsgleichung: A(t)=125/t+4t²

Wir könnten ableiten und den Extremwert bestimmen.

Versuche es einmal. smile
Aypex Auf diesen Beitrag antworten »

A(t)=125/t+4t² soll doch die Zielfunktion sein, aber ich muss wissen wie man darauf kommt, oder ob sie falsch ist zur Berechnung der Glasfläche.
sulo Auf diesen Beitrag antworten »

Ich habe meinen Fehler gefunden. Hier steckt er:

Zitat:

50.000cm³ = 2t*b*t => 50.000cm³ = 3t*b


Das ist Unsinn, es muss so heißen: 50.000cm³ = 2t² *b

Umgeformt: b = 50.000/2t² => b = 25.000/t²

Vielleicht sollten wir doch in der Einheit dm bleiben?

Dann hätten wir: b = 25/t²


Die HB wäre dann:

O(t) = 2*2t*t + 2*2t*25/t² + (25/t²)*t) smile

edit: Habe aus der 50 eine 25 gemacht.
Aypex Auf diesen Beitrag antworten »

O(t)= 4t+t²+4t+50/t²+50t/t² habe ich bei mir heraus (nicht zusammengefasst, weil ich nicht weiß ob richtig).
sulo Auf diesen Beitrag antworten »

Wo kommen die Summanden denn alle her? verwirrt

So sieht die Gleichung aus:

smile
Aypex Auf diesen Beitrag antworten »

Ich kann es nur im Kopf ausrechnen, mein Taschenrechner lief anscheinend über die ganze Woche und ist jetzt leer :/
sulo Auf diesen Beitrag antworten »

Das Zusammenfassen sollte auch ohne TR noch gelingen. Augenzwinkern
Aypex Auf diesen Beitrag antworten »

Jetzt bekomme ich 4t²+50t/t²+25t/t² heraus, scheint mir immer noch falsch zu sein Big Laugh
sulo Auf diesen Beitrag antworten »

Doch, es stimmt.

Jetzt kürze mal die t in den Brüchen und fasse die Brüche zusammen. smile
Aypex Auf diesen Beitrag antworten »

aber da kommt nur 75/t heraus, hm
sulo Auf diesen Beitrag antworten »









smile
Aypex Auf diesen Beitrag antworten »

Jetzt muss ich nur noch die minimal benötigte Glasfläche für das Aquarium sowie dessen Breite b, Höhe h und Tiefe t ausrechnen.
Ich weiß das ich viel frage, aber nur so kann ich das lernen und bisher habe ich schon viel gelernt smile .
Aypex Auf diesen Beitrag antworten »

Erstmal sollte ich O(t) 2 mal ableiten und 0 setzten, oder?
sulo Auf diesen Beitrag antworten »

Aber du hast schon gesehen, dass wir die gegebene Funktionsgleichung erhalten haben, oder? Augenzwinkern






Diese Gleichung kannst du nun ableiten. smile
Aypex Auf diesen Beitrag antworten »

O(t)=4t²+125/t
O'(t)=8t
O"(t)=8

Ich glaube ich habe den Bruch vergessen, oder?
Wenn ja, ich weiß nicht wie ich den ableite...
sulo Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, der Bruch muss mit.







Die Ableitung mal ausführlich: smile
Aypex Auf diesen Beitrag antworten »

Der Bruch macht die Aufgabe so schwer.
Ich finde auch nichts darüber in meinen Unterlagen...
sulo Auf diesen Beitrag antworten »

Die Ableitung geht einfach nach dem Schema smile
Aypex Auf diesen Beitrag antworten »

Ist der Bruch bei der 2. Ableitung immer noch dabei?
Ich kann mit dem wirklich nichts anfangen.
So kurz vor dem Ende traurig
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