Integration - Reskalierung

03.06.2012, 18:08	Nighel123	Auf diesen Beitrag antworten »
Integration - Reskalierung Moin, ich habe grade folgendes Probiert: $\begin{eqnarray} \int\limits_3^4 2+3x^2 dx \end{eqnarray}$ ich würde jetzt gerne Reskalieren: $\begin{eqnarray} \frac{1}{3}\cdot\int\limits_{2\cdot3}^{4\cdot3} dx (2+x^2) \end{eqnarray}$ aber da kommt nicht das selbe raus.. Was mach ich falsch? Gruß Nickel
03.06.2012, 21:39	thk	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo Nighel123, $\begin{eqnarray} \int\limits_3^4 (2+9x^2) dx=\frac{1}{3}\cdot\int\limits_{3\cdot3}^{4\cdot3} (2+x^2)dx \end{eqnarray}$ quasi $\begin{eqnarray} \frac{1}{3}\cdot\int\limits_{3\cdot3}^{4\cdot3} (2+z^2)dz \end{eqnarray}$ mit z=3x LG
04.06.2012, 00:51	Nighel123	Auf diesen Beitrag antworten »
wird die 9 zu einer 3 bei den Grenzen weil sie vor einem x^2 steht? Gruß Nickel
04.06.2012, 11:02	Huggy	Auf diesen Beitrag antworten »
Es wird Zeit, dass du dich von deinen wirren Vorstellungen über Reskalierung und Verschiebung von Integrationsgrenzen bei bestimmten Integralen verabschiedest. Die Integrationsgrenzen ändern sich bei einer Substitution. Und solange du auf dem Gebiet unsicher bist, solltest du die Substitution ausführlich durchziehen. Wenn man bei einem bestimmten Integral $\begin{eqnarray} \int\limits_a^b f(x) dx \end{eqnarray}$ eine Substitution $\begin{eqnarray} y=g(x) \quad x=g^{-1}(y) \end{eqnarray}$ macht, ist es hilfreich, sich die Grenzen in der Form $\begin{eqnarray} \int\limits_{x=a}^{x=b} f(x) dx \end{eqnarray}$ hinzuschreiben, tatsächlich oder zumindest in Gedanken. Die Substitution ergibt dann $\begin{eqnarray} \int\limits_{x=a}^{x=b} f(x) dx=\int\limits_{y=f(x)=f(a)}^{y=f(x)=f(b)} f(g^{-1}(y)) \frac {dx}{dy}dy=\int\limits_{f(a)}^{f(b)} f(g^{-1}(y)) \frac {dx}{dy}dy \end{eqnarray}$ Bei dem Beispiel von thk $\begin{eqnarray} \int\limits_3^4 (2+9x^2)dx \end{eqnarray}$ betrachtet er die Substitution $\begin{eqnarray} y=3x \quad x= \frac {1}{3}y \quad \frac{dx}{dy}=\frac {1}{3} \end{eqnarray}$ . Das ergibt dann $\begin{eqnarray} \int\limits_3^4 (2+9x^2)dx =\int\limits_{x=3}^{x=4} (2+9x^2)dx = \int\limits_{y=3x=3\cdot 3}^{y=3x=3\cdot 4}(2+y^2) \frac{1}{3}dy=\frac {1}{3}\int\limits_{3\cdot 3}^{3\cdot 4} (2+y^2)dy \end{eqnarray}$ Und jetzt kann man, wenn man möchte, die Integrationsvariable wieder von y in x umbenennen. Ich habe das so ausführlich aufgeschrieben, weil ich den Eindruck hatte, du hast den Hinweis von thk auf die Substitutionsregel nicht verstanden und glaubst, es gibt da spezielle Reskalierungsregeln. Die gibt es nicht!!!
04.06.2012, 16:23	Nighel123	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo Huggy, danke für deine ausführliche Antwort. Dank deiner Hilfe habe ich jetzt einige Integrale durch Substitution lösen können. Jetzt bin ich allerdings bei einem Beispiel angelangt, dass ich nicht ganz nachvollziehen kann. $\begin{eqnarray} V=\int_{0}^{R\cdot\sqrt{1-\frac{x^{2}}{R^{2}}}}dy\cdot\sqrt{1-\frac{x^{2}}{R^{2}}-\frac{y^{2}}{R^{2}}} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \frac{y}{R}=t \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \frac{dt}{dy}=\frac{1}{R}\Rightarrow dy=dt\cdot R \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} =\int_{...}^{...}dt\cdot R\cdot\sqrt{1-\frac{x^{2}}{R^{2}}-t^{2}} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} =\int_{\frac{0}{R}}^{\frac{R\cdot\sqrt{1-\frac{x^{2}}{R^{2}}}}{R}}dt\cdot R\cdot\sqrt{1-\frac{x^{2}}{R^{2}}-t^{2}} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} =\int_{0}^{\sqrt{1-\frac{x^{2}}{R^{2}}}}dy\cdot R\cdot\sqrt{1-\frac{x^{2}}{R^{2}}-\text{y}^{2}} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} t=\frac{x}{R} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \frac{dt}{dy}=0? \end{eqnarray}$ Am Ende steht im Buch dass sie auf: $\begin{eqnarray} V=\int_{0}^{\sqrt{1-x^{2}}}dy\cdot R^{2}\cdot\sqrt{1-x^{2}-y^{2}}<br /> \end{eqnarray}$ kommen aber ich kann nicht ganz nachvollziehen wie man bei der Substitution von $\begin{eqnarray} \frac{x}{R}=t \end{eqnarray}$ weiter kommt. Wie soll man x/R nach y differenzieren da kommt ja dann 0 raus und dann hat man kein differenzial zum integrieren mehr... Wie kommt man da weiter? Danke Nickel
04.06.2012, 17:25	Huggy	Auf diesen Beitrag antworten »
Die Substitution hast du richtig durchgeführt. x kann man nicht substituieren. Man kann nur Variablen substituieren, über die integriert wird. Das Anfangsintegral und das angebliche Lösungsintegral sind nicht gleich! Entweder hast du die Aufgabe nicht korrekt oder nicht vollständig wiedergegeben oder in der Aufgabe ist ein Fehler.
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04.06.2012, 18:10	Nighel123	Auf diesen Beitrag antworten »
Okay ich schreib noch einmal genau das was im buch steht ab: $\begin{eqnarray} V=8R\int_{0}^{R}dx\int_{0}^{R\cdot\sqrt{1-\frac{x^{2}}{R^{2}}}}dy\cdot\sqrt{1-\frac{x^{2}}{R^{2}}-\frac{y^{2}}{R^{2}}}<br /> \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} =8R^3\int_{0}^{1}dx\int_{0}^{\sqrt{1-x^{2}}}dy\cdot\sqrt{1-x^{2}-y^{2}}<br /> \end{eqnarray}$ unten hab ich noch mal ein Foto von der Umformung: falls da was in 2 Schritten gemacht wird und noch nicht ganz ausgeschrieben ist, ich das aber nicht sehe.
04.06.2012, 20:28	Huggy	Auf diesen Beitrag antworten »
Es ist immer schlecht, die Aufgaben nicht vollständig einzustellen. Du hast also ein Doppelintegral. Da außen über x integriert wird, kannst du natürlich auch für x eine Substitution machen. Im Integral ändert sich dx entprechend der Substitutionsregel. Ansonsten wird im Integral überall $\begin{eqnarray} x^2/R^2 \end{eqnarray}$ dürch die neue Variable ersetzt. Das gilt auch für die obere Grenze des inneren Integrals. Die Grenzen des äußeren Integrals ändern sich entsprechend der Regel, die ich ausführlich dargestellt hatte. Danach passt auch das Ergebnis.

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