Erzeugendensystem

03.06.2012, 18:15

willi333

Erzeugendensystem

Hallo!

Soweit ich weiß besteht ein Erzeugendensystem aus Matrizen oder Vektoren die als linearkombination des Vektorraums dargestellt werden können.
a*V1+b*V2+c*V3=VR (a-c sind Skalare und V1-V3 Vektoren).

Meine Aufgabe:

Zeige, dass
$\begin{eqnarray*} S=\left\{ 1+x,1-x,1+x^{2},1-x^{2} \right\} \end{eqnarray*}$
ein Erzeugendensystem von $\begin{eqnarray*} P2\left(x,\mathbb R \right) \end{eqnarray*}$ ist.

Mein Ansatz:
$\begin{eqnarray*} a*\left(1+x\right)+b*\left(1-x\right)+c*\left(1+x^{2}\right)+d*\left(1-x^{2}\right)=\left(x,e\right) \end{eqnarray*}$
wobei a-e Reelle Zahlen.

Was ist das jetzt rechts vom = ? Ein Vektor kanns nicht sein. Macht keinen Sinn.
Hat P2 irgendeine spezielle Bedeutung?

Hilfe

03.06.2012, 18:55

Leopold

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RE: Erzeugendensystem

Zitat:

Original von willi333
Soweit ich weiß besteht ein Erzeugendensystem aus Matrizen oder Vektoren die als linearkombination des Vektorraums dargestellt werden können.

Das ist ein völlig verquaster Satz. Wenn du das einmal richtig formulierst, kommst du vielleicht auch darauf, was du eigentlich zeigen mußt.

03.06.2012, 21:23

willi333

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Jedes Element des VR ist eine Linearkombination des Erzeugendensystems.
Richtig so?

Heißt das vielleicht, dass die Menge P2 aus x und den Reellen Zahlen besteht?

03.06.2012, 21:58

fleurita

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Zitat:

Original von willi333
Jedes Element des VR ist eine Linearkombination eines Erzeugendensystems dieses VRs.
Richtig so?

jetz stimmts smile

ein VR hat nämlich in der regel nicht nur ein erzeugendensystem.

Die schreibweisen sind bei so dingen leider nit einheitlich, aber anhand deiner menge $\begin{eqnarray*} S \end{eqnarray*}$ nehm ich an, dass $\begin{eqnarray*} P2\left(x,\mathbb R \right) \end{eqnarray*}$ die menge aller polynome 2.en grades ist, wobei die zahlen und koeffizienten aus $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ sind.

Du kannst z.b. den vektor $\begin{eqnarray*} 1-x^2 \end{eqnarray*}$ auch so schreiben: $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ -1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ bzw. $\begin{eqnarray*} (1,\ 0,\ -1) \end{eqnarray*}$ . Musst dir halt dabei merken, dass die 1. koodinate des vektors hinter der koorinate $\begin{eqnarray*} x^0 \end{eqnarray*}$ hat. Die 2. koodinate $\begin{eqnarray*} x^1 \end{eqnarray*}$ und die 3. $\begin{eqnarray*} x^2 \end{eqnarray*}$

16.06.2012, 17:19

willi333

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Danke!

(Entschuldigt bitte die späte Antwort.)

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