"Das Minimalpolynom und das charakteristische Polynom eines End. haben dieselben Nst."

03.06.2012, 18:17

Kiwiatmb

"Das Minimalpolynom und das charakteristische Polynom eines End. haben dieselben Nst."

Ich schon wieder smile

Kann mir jemand sagen / hat einen Beweis parat, warum der obige Satz gilt ?

Die eine Richtung meine ich bewiesen zu haben. An der anderen hapert's noch.

Also:
$\begin{eqnarray*} \text{Sei } m_\varphi (x_0) = 0 \text{ und gleichzeitig } \chi_\varphi (x_0) \neq 0 \text{. Sei } m_\varphi (x)=p_1(x) \cdot ... \cdot p_r (x) \text{ eine Faktorisierung des Minimalpolynoms in irreduzible Polynome über K.}<br /> \Rightarrow \exists p_i(x) : i \in {1,...,r} \text{ , s.d.} p_i(x) \notin \text{ der Faktorisierung in irreduzible Polynome von } \chi_\varphi (x)<br /> \Rightarrow \text{Widerspruch zu }m_\varphi(x) | \chi_\varphi (x) \end{eqnarray*}$

Passt das so? Und kann mir jemand bei der anderen Richtung auf die Sprünge helfen?

Danke jetzt schon einmal !

03.06.2012, 18:28

juffo-wup

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Wenn du sowieso schon weißt, dass das Minimalpolynom das charakteristische teilt, ist doch trivial, dass Nullstellen des Teilers auch Nullstellen des größeren Polynoms sind. $\begin{eqnarray*} \chi_{\varphi}(x)=m_{\varphi}(x)q(x) \end{eqnarray*}$ für ein q und wenn du rechts Null bekommst nach einsetzen von $\begin{eqnarray*} \lambda \end{eqnarray*}$ für x, dann links auch.
Für die andere Richtung multipliziere die Gleichung $\begin{eqnarray*} m_{\varphi}(A)=0 \end{eqnarray*}$ mit einem Eigenvektor von $\begin{eqnarray*} \lambda \end{eqnarray*}$

03.06.2012, 18:40

Kiwiatmb

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Ersteres sehe ich ein.

Zweiteres irgendwie nicht so richtig. Wenn ich das mit einem EV v multipliziere, steht halt v*m(A) = 0 . Da v nicht 0 sein kann, muss m(A) = 0 sein. Aber damit habe ich ja angefangen?

03.06.2012, 18:43

juffo-wup

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m(A)*v, sonst ergibt es ja keinen Sinn. m(A) ist eine Matrix!

03.06.2012, 19:00

Kiwiatmb

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Hm. Es funkt immer noch nicht so ganz. Ich weiß ja, dass natürlich für eine beliebige Matrix M:
M*v=lambda*v. Also:
m(A) ist eine Matrix, stimmt. Genaugenommen die Nullmatrix. Diese hat als Eigenwerte nur 0. Also gilt lambda=0. Aber du willst ja die Eigenwerte/-vektoren von A betrachten und das gerade eben beschriebene lambda ist ja nun ein Eigenwert von m(A). Daraus bekomme ich nur m(A)*v=0, was ja nichts neues ist.
Irgendwie komm' ich nicht wirklich vorwärts... Ich stell mich ein wenig an grad, oder? unglücklich

03.06.2012, 19:06

juffo-wup

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$\begin{eqnarray*} m_{\varphi}(x) \end{eqnarray*}$ ist doch ein gewisses Polynom, das man auch ausschreiben kann:
$\begin{eqnarray*} m_{\varphi}(x)=x^k+a_1x^{k-1}+..+a_k \end{eqnarray*}$
Nun gilt $\begin{eqnarray*} m_{\varphi}(A)=A^k+a_1A^{k-1}+..+a_k=0 \end{eqnarray*}$
Klar, wenn du da v rechts ranmultiplizierst, kommt 0 heraus. Aber du kannst das Produkt $\begin{eqnarray*} m_{\varphi}(A)v \end{eqnarray*}$ auch noch anders bilden.

03.06.2012, 19:21

Kiwiatmb

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Naja, halt als Matrixmultiplikation (m sind die Einträge aus m(A))? $\begin{eqnarray*} m_{\varphi}(A)v=\begin{pmatrix}m_{11} v_1 + m_{21} v_2 + m_{31} v_3 \\ m_{12} v_1 + m_{22} v_2 + m_{23} v_3 \\ m_{31} v_1 + m_{32} v_2 + m_{33} v_3 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
Aber das ist wahrscheinlich weder das, was du gemeint hast, noch besonders nützlich.
Wüsste nicht, wie man das Produkt sonst noch darstellen könnte ?

03.06.2012, 19:26

juffo-wup

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Es gilt doch $\begin{eqnarray*} Av=\lambda v \end{eqnarray*}$
Was ist also $\begin{eqnarray*} (A^k+a_1A^{k-1}+..+a_k)v \end{eqnarray*}$ ?

03.06.2012, 19:35

Kiwiatmb

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$\begin{eqnarray*} (A^k+a_1A^{k-1}+..+a_k)v = A^k v+a_1A^{k-1} v+...+a_k v = \lambda ^k + a_1\lambda ^{k-1}+...+a_k v \end{eqnarray*}$ ? (Geht das mit den Potenzen so?)
Oder meinst du, ich sollte das v da nicht reinziehen und dann gilt
$\begin{eqnarray*} (A^k+a_1A^{k-1}+..+a_k)v = \mu v \text{ mit } \mu \text{ ist EW der Matrix } (A^k+a_1A^{k-1}+..+a_k) \end{eqnarray*}$
Aber das ist ja die Nullmatrix und dann wären wir wieder paar Posts weiter oben...

03.06.2012, 19:43

juffo-wup

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Zitat:

Original von Kiwiatmb
$\begin{eqnarray*} (A^k+a_1A^{k-1}+..+a_k)v = A^k v+a_1A^{k-1} v+...+a_k v = \lambda ^k + a_1\lambda ^{k-1}+...+a_k v \end{eqnarray*}$ ? (Geht das mit den Potenzen so?)

Das ist noch nicht ganz richtig (Klammern). Wie das mit den Potenzen geht, kannst du dir doch selbst beantworten, einfach die Rechenregeln für Matrix-Vektor-Multiplikation anwenden. $\begin{eqnarray*} A^kv=A^{k-1}(Av)=A^{k-1}\lambda v=... \end{eqnarray*}$

03.06.2012, 20:04

Kiwiatmb

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Zu den Potenzen müsste das ja dann so gehen, Kommutativität bei Vektormultiplikation ist ja gegeben soweit ich weiß:
$\begin{eqnarray*} A^kv=A^{k-1}(Av)=A^{k-1}\lambda v=A^{k-1}v\lambda=A^{k-2}(Av)\lambda=A^{k-2}(\lambda v) \lambda = A^{k-2}v \lambda ^2 = ... = v\lambda ^k \end{eqnarray*}$

Bezüglich Klammern meinst du wahrscheinlich die hier:
$\begin{eqnarray*} (A^k+a_1A^{k-1}+...+a_k)v = A^k v+a_1A^{k-1} v+...+a_k v = ( \lambda ^k + a_1\lambda ^{k-1}+...+a_k) v \end{eqnarray*}$

03.06.2012, 20:05

juffo-wup

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Ja, und das ist also =0. Und jetzt kannst du mit deiner schon genannten Regel schließen $\begin{eqnarray*} \lambda^k+a_1\lambda^{k-1}+..+a_k=0 \end{eqnarray*}$
Und was sagt uns das jetzt?

03.06.2012, 20:26

Kiwiatmb

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$\begin{eqnarray*} \lambda^k+a_1\lambda^{k-1}+..+a_k=m_\varphi (\lambda) = 0 \end{eqnarray*}$ und damit ist lambda Nullstelle von m(x).

Richtig? Erstaunt2

Mannmannmann. Auf sowas könnte man auch selbst kommen, so als matheaffiner Mensch. Aber nun gut, vielen, vielen Dank !

03.06.2012, 20:45

juffo-wup

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Richtig.

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