"Das Minimalpolynom und das charakteristische Polynom eines End. haben dieselben Nst."

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Kiwiatmb Auf diesen Beitrag antworten »
"Das Minimalpolynom und das charakteristische Polynom eines End. haben dieselben Nst."
Ich schon wieder smile

Kann mir jemand sagen / hat einen Beweis parat, warum der obige Satz gilt ?

Die eine Richtung meine ich bewiesen zu haben. An der anderen hapert's noch.

Also:


Passt das so? Und kann mir jemand bei der anderen Richtung auf die Sprünge helfen?

Danke jetzt schon einmal !
juffo-wup Auf diesen Beitrag antworten »

Wenn du sowieso schon weißt, dass das Minimalpolynom das charakteristische teilt, ist doch trivial, dass Nullstellen des Teilers auch Nullstellen des größeren Polynoms sind. für ein q und wenn du rechts Null bekommst nach einsetzen von für x, dann links auch.
Für die andere Richtung multipliziere die Gleichung mit einem Eigenvektor von
 
 
Kiwiatmb Auf diesen Beitrag antworten »

Ersteres sehe ich ein.

Zweiteres irgendwie nicht so richtig. Wenn ich das mit einem EV v multipliziere, steht halt v*m(A) = 0 . Da v nicht 0 sein kann, muss m(A) = 0 sein. Aber damit habe ich ja angefangen?
juffo-wup Auf diesen Beitrag antworten »

m(A)*v, sonst ergibt es ja keinen Sinn. m(A) ist eine Matrix!
Kiwiatmb Auf diesen Beitrag antworten »

Hm. Es funkt immer noch nicht so ganz. Ich weiß ja, dass natürlich für eine beliebige Matrix M:
M*v=lambda*v. Also:
m(A) ist eine Matrix, stimmt. Genaugenommen die Nullmatrix. Diese hat als Eigenwerte nur 0. Also gilt lambda=0. Aber du willst ja die Eigenwerte/-vektoren von A betrachten und das gerade eben beschriebene lambda ist ja nun ein Eigenwert von m(A). Daraus bekomme ich nur m(A)*v=0, was ja nichts neues ist.
Irgendwie komm' ich nicht wirklich vorwärts... Ich stell mich ein wenig an grad, oder? unglücklich
juffo-wup Auf diesen Beitrag antworten »

ist doch ein gewisses Polynom, das man auch ausschreiben kann:

Nun gilt
Klar, wenn du da v rechts ranmultiplizierst, kommt 0 heraus. Aber du kannst das Produkt auch noch anders bilden.
Kiwiatmb Auf diesen Beitrag antworten »

Naja, halt als Matrixmultiplikation (m sind die Einträge aus m(A))?
Aber das ist wahrscheinlich weder das, was du gemeint hast, noch besonders nützlich.
Wüsste nicht, wie man das Produkt sonst noch darstellen könnte ?
juffo-wup Auf diesen Beitrag antworten »

Es gilt doch
Was ist also ?
Kiwiatmb Auf diesen Beitrag antworten »

? (Geht das mit den Potenzen so?)
Oder meinst du, ich sollte das v da nicht reinziehen und dann gilt

Aber das ist ja die Nullmatrix und dann wären wir wieder paar Posts weiter oben...
juffo-wup Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Kiwiatmb
? (Geht das mit den Potenzen so?)

Das ist noch nicht ganz richtig (Klammern). Wie das mit den Potenzen geht, kannst du dir doch selbst beantworten, einfach die Rechenregeln für Matrix-Vektor-Multiplikation anwenden.
Kiwiatmb Auf diesen Beitrag antworten »

Zu den Potenzen müsste das ja dann so gehen, Kommutativität bei Vektormultiplikation ist ja gegeben soweit ich weiß:


Bezüglich Klammern meinst du wahrscheinlich die hier:
juffo-wup Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, und das ist also =0. Und jetzt kannst du mit deiner schon genannten Regel schließen
Und was sagt uns das jetzt?
Kiwiatmb Auf diesen Beitrag antworten »

und damit ist lambda Nullstelle von m(x).

Richtig? Erstaunt2

Mannmannmann. Auf sowas könnte man auch selbst kommen, so als matheaffiner Mensch. Aber nun gut, vielen, vielen Dank !
juffo-wup Auf diesen Beitrag antworten »

Richtig. smile
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