alternierende Bilinearform <-> symm. Matrix

03.06.2012, 18:18

1nstinct

alternierende Bilinearform <-> symm. Matrix

Hallo zusammen smile

Sei $\begin{eqnarray*} V \end{eqnarray*}$ ein endl. dim. Vektorraum mit einer Basis $\begin{eqnarray*} b=(b_1,b_2,..,b_n) \end{eqnarray*}$ über einem Körper $\begin{eqnarray*} K \end{eqnarray*}$ .
Es gilt $\begin{eqnarray*} 1_K+1_K=0 \end{eqnarray*}$ .
Jetzt soll ich zeigen, dass $\begin{eqnarray*} \Phi \end{eqnarray*}$ alternierend ist, genau dann wenn $\begin{eqnarray*} A=Mat_{b,b}\Phi \end{eqnarray*}$ eine verschwindende Diagonle hat und $\begin{eqnarray*} A=A^t \end{eqnarray*}$ gilt.

Ich habe zunächst mal die Richtung $\begin{eqnarray*} "\Rightarrow" \end{eqnarray*}$ betrachtet.

Da $\begin{eqnarray*} \Phi \end{eqnarray*}$ alternierend ist, gilt: $\begin{eqnarray*} x,y\in V: \Phi(x,x)=0, \Phi(x,y)=-\Phi(y,x) \end{eqnarray*}$ .

Wenn man jetzt die Matrix $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ betrachtet ist sofort klar, dass die Diagonlae verschwindet.

Da ja $\begin{eqnarray*} A=A^t \end{eqnarray*}$ sein soll, müsste also auch $\begin{eqnarray*} \Phi(b_i,b_j)=\Phi(b_j,b_i)_{i\neq j; i,j=1,..,n} \end{eqnarray*}$ sein.

Genau hier liegt aber mein Problem, da nach Vorraussetzung gilt: $\begin{eqnarray*} \Phi(b_i,b_j)=-\Phi(b_j,b_i)_{i\neq j; i,j=1,..,n} \end{eqnarray*}$

Villeicht könnte mir ja jemand weiterhelfen, vielen Dank schonmal smile

03.06.2012, 18:33

Leopold

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Müßte es nicht $\begin{eqnarray*} A^{\top} = -A \end{eqnarray*}$ heißen? (Druckfehler)

03.06.2012, 18:37

juffo-wup

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1+1=0 impliziert 1=-1 Augenzwinkern

03.06.2012, 18:38

1nstinct

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Könnte sein, auf dem Aufgabenblatt steht:
"...,wenn $\begin{eqnarray*} A:=Mat_{b,b}\Phi \end{eqnarray*}$ symmetrisch (d.h. $\begin{eqnarray*} A=A^t \end{eqnarray*}$ ) mit verschwindender Diagonale ist."

Habe ich da vielleicht irgendwas falsch verstanden?

03.06.2012, 18:44

1nstinct

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Zitat:

1+1=0 impliziert 1=-1 Augenzwinkern

Ok, danke

Ich wusste doch, dass ich diese Angabe auch noch irgendwo benutzen muss Big Laugh

Die Rückrichtung ist doch eigendlich nichts anderes, nur eben hinten angefangen oder nicht?

03.06.2012, 18:51

Leopold

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Zitat:

Original von juffo-wup
1+1=0 impliziert 1=-1 Augenzwinkern

Diese Voraussetzung hatte ich doch glatt überlesen.

03.06.2012, 18:54

juffo-wup

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Zitat:

Original von 1nstinct
Die Rückrichtung ist doch eigendlich nichts anderes, nur eben hinten angefangen oder nicht?

So ziemlich. Du musst aber noch aus $\begin{eqnarray*} \Phi(b_i,b_i)=0\forall 1\leq i\leq n \end{eqnarray*}$ schlussfolgern $\begin{eqnarray*} \Phi(x,x)=0\forall x\in V \end{eqnarray*}$

03.06.2012, 18:57

1nstinct

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Super, vielen Dank für die Hilfe smile

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