Konvergenzbereich bestimmen

03.06.2012, 20:04	Mathe200	Auf diesen Beitrag antworten »
Konvergenzbereich bestimmen Hi, gesucht ist der Konvergenzbereich folgender Reihe: $\begin{eqnarray} \sum\limits_{k=1}^\infty k(2-x)^k \end{eqnarray}$ Idee: $\begin{eqnarray} r= \|\frac{a_n}{a_{n+1}}\|=1 \end{eqnarray}$ Randpunkte: x1= 1 und x2=-1 $\begin{eqnarray} x \in (-1,1] \end{eqnarray*}$ Aber das stimmt nicht
03.06.2012, 21:03	Helferlein	Auf diesen Beitrag antworten »
EDIT: Denkfehler meinerseits. Der Radius stimmt, aber die Schlußfolgerung nicht. Wie bist Du auf die $\begin{eqnarray} x_i \end{eqnarray}$ gekommen?
04.06.2012, 01:22	Mathe200	Auf diesen Beitrag antworten »
Stimmt das so alles ? Ich meine auch das mit den Beweisen... Konvergenzradius; $\begin{eqnarray} r=1 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} x_0=2 \end{eqnarray}$ ??? Habe ich einfach abgelesen $\begin{eqnarray} (2-x)^k \end{eqnarray}$ Formel für Randpunkte: $\begin{eqnarray} x_1=x_0-r \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} x_2=x_0+r \end{eqnarray}$ Randpunkte bestimmt: $\begin{eqnarray} x_1=2-1=1 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} x_2=2+1=3 \end{eqnarray}$ Konvergenzverhalten an den Rändern: Fall1: $\begin{eqnarray} x_1=1 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \sum\limits_{k=1}^\infty k(2-x)^k \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \sum\limits_{k=1}^\infty k(2-1)^k \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \sum\limits_{k=1}^\infty k1^k \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \sum\limits_{k=1}^\infty k \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \sum\limits_{k=1}^\infty \frac{1}{k^{-1}} \geq \sum\limits_{k=1}^\infty \frac{1}{k} \end{eqnarray}$ ----> Divergiert ------------------------------------------------------------------------------------------------------------- oder einfach: Geometrische Reihe: $\begin{eqnarray} \sum\limits_{k=1}^\infty k \end{eqnarray}$ gilt $\begin{eqnarray} \|x\| \geq 1 \end{eqnarray}$ --->Divergent ------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Fall2: $\begin{eqnarray} x_1=3 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \sum\limits_{k=1}^\infty k(2-3)^k \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \sum\limits_{k=1}^\infty k(-1)^k \end{eqnarray}$ Leibnizkriterium: Nullfolge prüfen: $\begin{eqnarray} \lim_{k \to \infty} k \Rightarrow \infty \end{eqnarray}$ Keine Nullfolge ---> Divergent $\begin{eqnarray} x\in \mathbb R (1;3) \end{eqnarray*}$
04.06.2012, 22:32	Mathe200	Auf diesen Beitrag antworten »
Stimmt das so alles ?
04.06.2012, 22:36	Helferlein	Auf diesen Beitrag antworten »
Sollte stimmen, ja.
04.06.2012, 22:40	Mathe200	Auf diesen Beitrag antworten »
Gut Danke
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