Gemeinsame Dichte u. Unabhänigkeit

03.06.2012, 23:03	Hm?	Auf diesen Beitrag antworten »
Gemeinsame Dichte u. Unabhänigkeit N'abend Leute, ich habe folgende Aufgabe vor mir: X1,..,Xn seien Zufallsgrößen und f1,...,fn ihre Dichten (Abb. von R nach [0,inf)). zeige: X1,...,Xn sind unabhänig <=> eine gemeinsame dichte von X1,...,Xn ist gegeben durch (x1,...,xn) -> f1(x1)f2(x2)...fn(xn) , x1,...,xn aus R Ich weiß, dass X1,...,Xn unabhänig sind, wenn gilt: P(x1<=t1,...,Xn<=tn) = P(X1<=t1)P(X2<=t2)..P(Xn<=tn) Könnt ihr mir einen Tipp für diese Aufgabe geben? Ich scheue mich davor das Integral der angeblichen gemeinsamen Dichte zu berechnen. Auch den Gedanken an eine Induktion habe ich vorerst verworfen.
04.06.2012, 09:55	Zellerli	Auf diesen Beitrag antworten »
Was sind denn die $\begin{eqnarray} t_k \end{eqnarray}$ in deiner Unabhängigkeitsdefinition? edit: Sehe gerade, dass das nicht dein Problem ist. Um eine explizite Induktion kommst du rum, aber du wirst dir die Mühe machen müssen, die einzelnen Wahrscheinlichkeiten anzuschauen. Wie sieht es denn allgemein für abhängige Ereignisse aus (betrachte der Einfachheit halber vielleicht nur 2 oder 3)?
04.06.2012, 20:07	Hm?	Auf diesen Beitrag antworten »
Hm, ich hab mir folgendes überlegt: "=>" X1,...,Xn = X seien unabhänig, obda sei Fx Verteilungsfunktion von X: $\begin{eqnarray} Fx(t1,...,tn)=P(X1\leq t1,...,Xn\leq tn)= P(X1\leq t1)...P(Xn\leq tn) \end{eqnarray}$ da X1,...,Xn unabhänig = int_-inf...fn fn(xn) ... int_-inf...f1 f1(x1)dx1 (da f1,...,fn dichten zu x1,...,xn) = int_-inf...tn ... int_-inf...t1 f1(x1)dx1...fn(xn)dxn würde das so gehen? mir kommt das etwas verhuscht vor EDIT: ich schaffs nicht integrale von -inf bis tn im formeleditor darzustellen, dass werden maximal integrale von "-" bis nirgendwo..
04.06.2012, 21:20	Zellerli	Auf diesen Beitrag antworten »
\int_{-\infty}^{t_k} liefert $\begin{eqnarray} \int_{-\infty}^{t_k} \end{eqnarray}$ Wäre nett, wenn du das nochmal umschreiben könntest, dass es leichter nachzuvollziehen ist.
04.06.2012, 21:33	Hm?	Auf diesen Beitrag antworten »
(da f1,...,fn dichten zu x1,...,xn) $\begin{eqnarray} = \int_{-\infty}^{t_n} fn(xn)dxn ...* \int_{-\infty}^{t_1} f1(x1)dx1 = \int_{-\infty}^{t_n} ... \int_{-\infty}^{t_1} fn(xn)...f1(x1) dxn...dx1 \end{eqnarray*}$ danke an geschwungene klammern habe ich nicht gedacht
05.06.2012, 09:54	Zellerli	Auf diesen Beitrag antworten »
Bei dir hat das W-Maß von $\begin{eqnarray} (x_1,...,x_n) \end{eqnarray}$ auf $\begin{eqnarray} [0;1] \end{eqnarray}$ den gleichen Namen wie das von $\begin{eqnarray} x_1 \end{eqnarray}$ auf $\begin{eqnarray} [0;1] \end{eqnarray}$ . Ansonsten stimmt das Vorgehen. Jetzt fehlt in meinen Augen aber noch die analytische Begründung, warum man die n Integrale vor $\begin{eqnarray} f_1(x_1) \cdot ... \cdot f_n(x_n) \end{eqnarray}$ einfach wegnimmt und sagt: Der Integrant ist die gemeinsame Dichtefunktion. Kennst du den Satz?
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