Zu zeigen: Ableitung ist eine lineare Abbildung

04.06.2012, 09:59	annikay70	Auf diesen Beitrag antworten »
Zu zeigen: Ableitung ist eine lineare Abbildung Meine Frage: Die Menge P_4 der reellen Polynome vom Grad kleiner gleich 4 ist ein Vektorraum der Dimension 5 mit Basis {1,x,x²,x³,x^4}. Zeigen Sie, dass f: P_4-->P_4, p(x) --> p´(x) eine lineare Abbildung ist. Meine Ideen: Ich habe eine Summe : $\begin{eqnarray} \sum\limits_{i=1}^4 aix^i<br /> <br /> Davon die Ableitung ist: \sum\limits_{i=1}^4 iaix^i-^1 \end{eqnarray}$ Jetzt muss ich zeigen, dass gilt: i) f(a+b) = f(a) + f(b) ii) f( $\begin{eqnarray} \lambda \end{eqnarray}$ b) = $\begin{eqnarray} \lambda \end{eqnarray*}$ f(b) Und an dieser Stelle komme ich mit diesen Summen nicht weiter. Vielen Dank schon mal für jede Antwort.
04.06.2012, 10:26	Iorek	Auf diesen Beitrag antworten »
Versuch es einfach mal, indem du mit zwei Polynomen ansetzt. Wenn dir die Summenzeichen nicht zusagen, kannst du es auch ausschreiben. Übrigens sollte die Summe bei i=0 starten. Nimm dir zwei Polynome $\begin{eqnarray} \sum\limits_{i=0}^4 a_ix^i,~\sum\limits_{i=0}^4 b_ix^i \end{eqnarray}$ , wie sehen die einzelnen Bilder unter $\begin{eqnarray} f \end{eqnarray}$ aus? Wie sieht die Summe aus und wie das Bild der Summe?
04.06.2012, 17:49	Helferlein	Auf diesen Beitrag antworten »
Im Prinzip benötigt man nur Ableitungsregeln und kommt (fast) ohne den Begriff des Polynoms aus.
04.06.2012, 21:41	annikay70	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich tue mich mit diesen Bildern ehrlich gesagt sehr schwer... Habe es nie wirklich erklärt bekommen...
04.06.2012, 21:46	Iorek	Auf diesen Beitrag antworten »
Was macht denn diese Abbildung? Sie schickt ein Polynom auf seine Ableitung. Beispiel: $\begin{eqnarray} f(x^3+2x^2+1)=3x^2+4x \end{eqnarray}$ oder $\begin{eqnarray} f(2x^4-x^3+\frac 12x^2)=8x^3-3x^2+x \end{eqnarray}$ oder... Das sollst du jetzt allgemein für Polynome höchstens vierten Grades machen, setze also mit $\begin{eqnarray} a_4x^4+a_3x^3+a_2x^2+a_1x+a_0 \end{eqnarray}$ an und wende die Abbildung darauf an.

1

Verwandte Themen

Die Beliebtesten »

Die Größten »

Die Neuesten »