Asymptoten

04.06.2012, 13:56

134340

Asymptoten

Hi Mathebaorduser Wink

eine Asymptote berechne ich doch einfach durch den Grenzwert der Funktion oder?
Es geht um die Funktion $\begin{eqnarray*} f(x)=\frac{x-1}{x} \end{eqnarray*}$ dann berechne ich die Asymptote über den Grenzwert:
$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to \infty } \frac{x-1}{x} = \lim_{x \to \infty } \left(1- \frac{1}{x}\right)=1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \lim_{x \to -\infty } \frac{x-1}{x} = \lim_{x \to -\infty } \left(1- \frac{1}{x}\right)=1 \end{eqnarray*}$ . Die Asymptote ist dann y=1.

Aber was bringt mir dann die Formel $\begin{eqnarray*} \lim_{x \to \infty } (f(x)-g(x)) \end{eqnarray*}$ wobei g(x) die Funktion der Asymptote ist.

04.06.2012, 14:25

Mulder

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RE: Kleine Frage zu Asymptoten
Mit dem Grenzwert lassen sich lediglich waagerechte Asymptoten berechnen. Denn die Funktion muss ja überaupt erst einmal einen Grenzwert besitzen (dafür muss eben der Zählergrad kleinergleich dem Nennergrad sein). Aber es gibt ja auch noch andere Fälle.

Wie sieht es zum Beispiel bei schrägen Asymptoten aus? Beispiel:

$\begin{eqnarray*} f(x) = \frac{x^2+1}{x} \end{eqnarray*}$

Allgemein führt das Ganze immer auf eine Polynomdivision (hast du ja auch bei deinem Beispiel im Prinzip gemacht, als du das (x-1)/x zu 1-1/x umgeschrieben hast). Dabei wird dann der "Rest" im unendlichen verschwinden und was übrig bleibt, ist deine Asymptote. Auf mein Beispiel übertragen:

$\begin{eqnarray*} \frac{x^2+1}{x} = x+ \frac{1}{x} \end{eqnarray*}$

Schräge Asymptote ist also y=x. Das 1/x wird im unendlichen einfach null und fällt daher weg.

Zitat:

Original von 134340
Aber was bringt mir dann die Formel $\begin{eqnarray*} \lim_{x \to \infty } (f(x)-g(x)) \end{eqnarray*}$ wobei g(x) die Funktion der Asymptote ist.

In welchem Zusammenhang tauchte das denn auf? Bei schrägen Asymptoten? Wenn der Grenzwert von diesem Ausdruck 0 ist, dann ist g eben eine Asymptote von f. So lässt sich halt die Vermutung, dass g eine Asymptote ist, rechnerisch bestätigen.

04.06.2012, 15:26

134340

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RE: Kleine Frage zu Asymptoten

Zitat:

Wie sieht es zum Beispiel bei schrägen Asymptoten aus?

Achso ich dachte mit dem Grenzwert kann man alle Asymptoten berechnen. Gibt es auch senkrechte Asymptoten? Also ich dachte gerade dass man eine Polstelle doch als senkrechte Asymptote berechen kann oder sehe ich das falsch?

Zitat:

Original von Mulder

Zitat:

Original von 134340
Aber was bringt mir dann die Formel $\begin{eqnarray*} \lim_{x \to \infty } (f(x)-g(x)) \end{eqnarray*}$ wobei g(x) die Funktion der Asymptote ist.

Das trat in zusammenhang mit geraden Asymptoten auf. Ich glaube das ist nur die Kontrolle ob es sich wirklich um eine Nullstelle handelt.

04.06.2012, 15:38

Mulder

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RE: Kleine Frage zu Asymptoten

Zitat:

Original von 134340
Achso ich dachte mit dem Grenzwert kann man alle Asymptoten berechnen.

Naja, du siehst es ja an meinem Beispiel. Diese Funktion besitzt ja keinen Grenzwert und "unendlich" ist ja keine Asymptote.

Zitat:

Original von 134340
Gibt es auch senkrechte Asymptoten? Also ich dachte gerade dass man eine Polstelle doch als senkrechte Asymptote berechen kann oder sehe ich das falsch?

Ja, sicher, die senkrechten Asymptoten liegen bei Polstellen vor. Die hatte ich vergessen zu erwähnen, wir waren ja erstmal bei Asymptoten im unendlichen. Ein einfaches Beispiel für eine senkrechte Asymptote wäre bei der Funktion f(x)=1/x bei x=0.

Zitat:

Original von 134340
Ich glaube das ist nur die Kontrolle ob es sich wirklich um eine Nullstelle handelt.

Nullstelle? verwirrt

Du meinst "Asymptote".

06.06.2012, 13:12

134340

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RE: Kleine Frage zu Asymptoten
Sry, dass ich erst so spät antworte, aber ich musste die letzten Tage ander Fächer als Mathe machen. Aber jetzt habe ich wieder Zeit für Mathe Big Laugh

Zitat:

Mit dem Grenzwert lassen sich lediglich waagerechte Asymptoten berechnen.

Woher weiß ich denn, ob die Asymptote waagerecht ist, Wenn ich den Graphen vorher noch nicht gezeichnet habe?

Um noch mal auf dein Beispiel zurück zu kommen $\begin{eqnarray*} f(x) = \frac{x^2+1}{x} \end{eqnarray*}$ .
Die Asymptote kenn ich ja jetzt, aber nun hat die Funktion auch eine Polstelle bei x=0. Eine Polstelle ist also immer bei einer Definitionslücke vorhanden?

Noch eine andere Frage: Wie wird die Ordnung des Pols bestimmt?

Zitat:

Original von 134340Ich glaube das ist nur die Kontrolle ob es sich wirklich um eine Nullstelle handelt.

Nullstelle? verwirrt

Du meinst "Asymptote".

Natürlich meine ich "Asymptote", ich hatte mich nur verschrieben. Hammer

06.06.2012, 13:23

Mulder

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RE: Kleine Frage zu Asymptoten

Zitat:

Original von 134340
Woher weiß ich denn, ob die Asymptote waagerecht ist, Wenn ich den Graphen vorher noch nicht gezeichnet habe?

Das erkennst du an Zähler- und Nennergrad. Ist der Zählergrad kleinergleich dem Nennergrad, hat man eine waagerechte Asymptote. Ist der Zählergrad um 1 größer als der Nennergrad, hat man eine schräge Asymptote.

Man kann sich das auch leicht überlegen, wenn man bedenkt, was bei der Polynomdivision passiert.

Zitat:

Original von 134340
Polstelle ist also immer bei einer Definitionslücke vorhanden?

Es gibt auch hebbare Definitionslücken. Da liegt dann keine Polstelle vor.

Zitat:

Original von 134340
Noch eine andere Frage: Wie wird die Ordnung des Pols bestimmt?

Nachlesen!

06.06.2012, 15:59

134340

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Danke dass du mir das so ausführlich und einfach erklärt hast smile

Ich werde ggf. in den nächsten Tagen noch die ein oder andere Asymptoten-Aufgabe posten, da es sehr wahrscheinlich ist, dass ich irgendwas wieder nicht hinbekomme Big Laugh

06.06.2012, 18:47

thk

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RE: Kleine Frage zu Asymptoten

Zitat:

Original von Mulder

$\begin{eqnarray*} \frac{x^2+1}{x} = x+ \frac{1}{x^2} \end{eqnarray*}$

06.06.2012, 19:20

Mulder

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RE: Kleine Frage zu Asymptoten
Ach so, ja. Das Quadrat auf der rechten Seite ist da natürlich etwas fehl am Platze. Danke für den Hinweis.

Der Fragesteller scheint den Fehler ja nicht wahrgenommen zu haben, vielleicht hat er es ja richtig übernommen. Aber ich werd's mal eben korrigieren.

07.06.2012, 11:13

134340

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Ich hab mich ehrlich gesagt gewundert warum $\begin{eqnarray*} \frac{x^2+1}{x} = x+ \frac{1}{x^2} \end{eqnarray*}$ ; deswegen war ich auch etwas verwirrt was du mit der Polynomdivision meintest, weil ich da auf was anderes gekommen bin. Aber ich hatte dass dann einfach ignoriert, weil es is ja prinzipiell nicht wichtig um das Verfahren zu verstehen.

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