Dachprodukt

04.06.2012, 14:37	Hamsterchen	Auf diesen Beitrag antworten »
Dachprodukt Hallo alle zusammen, wir haben hier folgende Aufgabe: $\begin{eqnarray} \partial_1,\ldots,\partial_n \end{eqnarray}$ sei die Standardbasis des $\begin{eqnarray} \mathbb R^n \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} dx_1,\ldots,dx_n \end{eqnarray}$ die dazu duale Basis des $\begin{eqnarray} \mathbb R^{n} \end{eqnarray}$ . Dann haben wir eine lineare Abbildung $\begin{eqnarray} A\colon \mathbb R^2\to\mathbb R^3 \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} A=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\\-1&2\end{pmatrix} \end{eqnarray}$ . Hierzu sollen wir folgendes berechnen: a) $\begin{eqnarray} A^\alpha \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} \alpha=dx_1\wedge dx_3-2dx_1\wedge dx_2+4dx_2\wedge dx_3\in\bigwedge {}^2\mathbb R^{n} \end{eqnarray}$ b) mit $\begin{eqnarray} \alpha=\det\in\bigwedge{}^3\mathbb R^{3} \end{eqnarray}$ Wir wissen leider nicht so genau, wie man das angehen soll. Kann man das hier irgendwie benutzen? : Ist $\begin{eqnarray} a = (a_1, a_2, a_3) \in\mathbb R^3 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \bigwedge{}_a = a_1 dx_2 \wedge dx_3 +a_2 dx_3 \wedge dx_1 +a_3 dx_1 \wedge dx_2 \end{eqnarray}$ die zugehörige 2-Form, so ist $\begin{eqnarray} \bigwedge{}_a(v,w) = a \cdot (v \times w) \end{eqnarray}$ , für $\begin{eqnarray} v,w \in\mathbb R^3 \end{eqnarray}$ . Wir wären für Hilfe sehr dankbar. LG Hamsterchen
07.06.2012, 10:10	gonnabphd	Auf diesen Beitrag antworten »
Hi, Anfangen solltet ihr sicher mal mit der Definition von A. Wie ist also $\begin{eqnarray} A^\ast \alpha \end{eqnarray}$ definiert für ein $\begin{eqnarray} \alpha \in \bigwedge {}^2 {\mathbb R^n} {}^\ast \end{eqnarray*}$ ?
07.06.2012, 22:08	Hamsterchen	Auf diesen Beitrag antworten »
Hi, wir haben unseren Übungsleiter gefragt und der hat uns das erklärt. Man muss, um A\alpha zu berechnen, \alpha(Av,Aw) berechnen, also erst die Matrix auf die Vektoren v und w anwenden (hier 2, da $\begin{eqnarray} \alpha\in\bigwedge {}^2 \end{eqnarray*}$ ) und dann das \alpha auf das Ergebnis anwenden. Hat bisher auch ganz gut geklappt =)

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