Warum hat die Matrix diese Form?

04.06.2012, 15:04	davidoo	Auf diesen Beitrag antworten »
Warum hat die Matrix diese Form? Hallo, ich gehe gerade den Beweis von der Schur-Zerlegung einer Matrix durch und verstehe nicht warum die Matrix $\begin{eqnarray} B \end{eqnarray}$ (siehe unten) die angegebene Form besitzen muss. Aber Schritt für Schritt: Sei $\begin{eqnarray} A \in \mathbb R^{n \times n} \end{eqnarray}$ eine Matrix und $\begin{eqnarray} \lambda_1 \in \mathbb C \end{eqnarray}$ ein Eigenwert von $\begin{eqnarray} A \end{eqnarray}$ mit Eigenvektor $\begin{eqnarray} s_1 \end{eqnarray}$ und es gelte $\begin{eqnarray} \left \\| s_1 \right \\|=1. \end{eqnarray}$ Nach Gram-Schmidt existieren Vektoren $\begin{eqnarray} s_2,...,s_n \end{eqnarray}$ so dass $\begin{eqnarray} \left \{ s_1,...,s_n \right \} \end{eqnarray}$ eine Orthonormalbasis des $\begin{eqnarray} \mathbb C^n \end{eqnarray}$ ist. Definiere die Matrix $\begin{eqnarray} U_1:=\begin{pmatrix}<br /> s_1 & ... & s_n <br /> \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ wobei die $\begin{eqnarray} s_i \end{eqnarray}$ die Spaltenvektoren bilden. Dann ist (in der Basis der $\begin{eqnarray} s_i \end{eqnarray}$ ) die Matrix $\begin{eqnarray} B:=U_1^{-1}AU_1 \end{eqnarray}$ von der Form $\begin{eqnarray} B= \begin{pmatrix}<br /> \lambda_1 & & * & * \\ <br /> 0 \\<br /> \vdots & & C \\<br /> 0 <br /> \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ wobei $\begin{eqnarray} C \end{eqnarray}$ eine $\begin{eqnarray} (n-1)\times(n-1) \end{eqnarray}$ -Matrix ist. Also $\begin{eqnarray} \lambda_1 \end{eqnarray}$ ist ja Eigenwert mit Eigenvektor $\begin{eqnarray} s_1 \end{eqnarray}$ , d.h. $\begin{eqnarray} As_1 = \lambda_1 s_1 \end{eqnarray}$ , aber warum stehen da in der ersten Spalte von B nur Nullen außer an der Stelle $\begin{eqnarray} b_{11} \end{eqnarray*}$ , d.h. ganz oben links? Und warum sind dann die Einträge in der ersten Zeile nicht auch nur Nullen außer ganz oben links?? Wäre toll, wenn ihr mir sagen könntet, wie diese Form zustande kommt. Viele Grüße davidoo
04.06.2012, 17:24	Helferlein	Auf diesen Beitrag antworten »
B ist doch nichts anderes als die Darstellungsmatrix bzgl. der "neuen" Basis $\begin{eqnarray} U:=(s_1,....,s_n) \end{eqnarray}$ .
04.06.2012, 19:09	davidoo	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo. Aber ich verstehe immer noch nicht, warum die erste Spalte von $\begin{eqnarray} B \end{eqnarray}$ der Vektor $\begin{eqnarray} (\lambda_1,0,...,0)^T \end{eqnarray}$ ist.
04.06.2012, 19:20	Helferlein	Auf diesen Beitrag antworten »
Nimm das Bild von $\begin{eqnarray} s_1 \end{eqnarray}$ und stelle es bzgl. der neuen Basis da. Welche Koeffizienten hat diese Darstellung?

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