Eine Fläche begrenzende Kurve berechnen

04.06.2012, 15:25

Fabian0504

Eine Fläche begrenzende Kurve berechnen

Ein kreisrundes Portalfenster (Durchmesser: 2 m) soll aus zwei flächengleichen, jedoch farblich unterschiedlichen Fensterhälften ein Symbol gemäß dem Bild von Aufgabe 18 ergibt.
[attach]24810[/attach]
Dabei kann der Kurvenverlauf einer zwischen beiden Fensterteilen erforderlichen Bleifassung als Funktionsgraph einer ganzrationalen Funktion 3. Grades aufgefasst werden, der mit der markierten x-Achse zwei halbmondförmig aussehende Flächenstücke einschließt, deren Flächeninhalt zusammen 12,5 Prozent der Kreisfläche ausmacht. Erstellen Sie die Funktionsgleichung der beschriebenen Kurve.

Ansatz:
Punkte (0|0), (1|0), (-1|0)
$\begin{eqnarray*} A_G = r^2 * \pi \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} A_G = 1^2 * \pi \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} A_G = \pi \end{eqnarray*}$

Die Halbmonde: $\begin{eqnarray*} A_M = 1/8 * \pi = \pi / 8 \end{eqnarray*}$
Normalform: $\begin{eqnarray*} f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f(0) = 0; d = 0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f(x) = ax^3 + bx^2 + cx \end{eqnarray*}$

Integral: $\begin{eqnarray*} A_M = 2 * \int_0^1 \! f(x) \, dx = \pi / 8 \end{eqnarray*}$
F(0) = 0, weil kein konstanter Term
$\begin{eqnarray*} \int_0^1 \! f(x) \, dx = \pi / 16 = F(1) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} F(1) = \pi / 16 \end{eqnarray*}$

Wie errechne ich jetzt die Funktionsgleichung mit den Punkten und der Fläche?

Aber theoretisch würden drei Punkte reichen, um die Funktion zu bestimmen, aber setze ich sie in die Normalform ein, so käme für a, b und c null raus, warum? Kann ich mit den drei Nullstellen nicht die Funktion ausrechnen?

Vielen Dank im Voraus (:

edit von sulo: Link entfernt, Grafik eingefügt.

04.06.2012, 17:31

Helferlein

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Wo stellst Du denn sicher, dass diese Fläche auch wirklich im Kreis liegt?
Anders ausgedrückt: Dein Startpunkt der Fläche liegt bisher im nirgendwo, er müsste aber schon auf dem Kreis sein, damit es einen Sinn ergibt. Ebenso der Endpunkt.

04.06.2012, 18:10

Fabian0504

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Zitat:

Original von Helferlein
Wo stellst Du denn sicher, dass diese Fläche auch wirklich im Kreis liegt?
Anders ausgedrückt: Dein Startpunkt der Fläche liegt bisher im nirgendwo, er müsste aber schon auf dem Kreis sein, damit es einen Sinn ergibt. Ebenso der Endpunkt.

Wie könnte es denn anders sein?

Zumindest hatten wir so auch in der Schule begonnen, vor allem deswegen weiß ich, dass mein bestehender Ansatz nicht falsch ist..

04.06.2012, 18:40

Helferlein

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Hab ich auch nicht behauptet, er reicht nur nicht aus, um eine Funktion eindeutig zu bestimmen. Dafür fehlen zwei Bedingungen.

04.06.2012, 18:44

Fabian0504

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Zitat:

Original von Helferlein
Hab ich auch nicht behauptet, er reicht nur nicht aus, um eine Funktion eindeutig zu bestimmen. Dafür fehlen zwei Bedingungen.

Was fehlt noch? Wir haben doch drei Punkte und die Fläche... Vier Bedingungen würden doch eigentlich reichen?
Wie würdest du weiter verfahren ?

04.06.2012, 19:23

Helferlein

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Igendwie scheinen wir aneinander vorbei zu reden.
Wo hast Du denn vier Punkte? Ich sehe in deinem obigen Posting nur einen Punkt, nämlich (0/0), sowie die Bedingung $\begin{eqnarray*} F(1)=\frac{\pi}{16} \end{eqnarray*}$

EDIT: Ich korrigiere mich, in einem Nebensatz versteckst Du die Aussage "Punkte (0/0)(1/0) ..."
Wo liegt dann genau das Problem? Wenn Du a=b=c=0 rausbekommst, hast Du Dich irgendwo verrechnet, denn die Produktform ist ja eindeutig bestimmt und nicht 0.

04.06.2012, 19:39

Fabian0504

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Zitat:

EDIT: Ich korrigiere mich, in einem Nebensatz versteckst Du die Aussage "Punkte (0/0)(1/0) ..."
Wo liegt dann genau das Problem? Wenn Du a=b=c=0 rausbekommst, hast Du Dich irgendwo verrechnet, denn die Produktform ist ja eindeutig bestimmt und nicht 0.

Ich weiß nicht genau, was mit den drei Punkten und vor allen Dingen der Bedingung

$\begin{eqnarray*} F(1) = \pi / 16 \end{eqnarray*}$

zu machen ist.

04.06.2012, 20:05

Helferlein

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Hm...was die Produktform eines Polynoms ist, weisst Du aber?

Ansonsten mach das, was Du immer bei Steckbriefaufgaben machst, bei denen Punkte gegeben sind: Setzte sie in die Funktion ein und löse das Gleichungssystem. Das wird hier nicht ganz funktionieren, da die letzte Bedingung ja noch benötigt wird, aber die kannst Du danach einsetzen.
Einfacher ist in jedem Fall die eben erwähnte Produktform.

04.06.2012, 20:20

Fabian0504

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Zitat:

Original von Helferlein
Hm...was die Produktform eines Polynoms ist, weisst Du aber?

Ansonsten mach das, was Du immer bei Steckbriefaufgaben machst, bei denen Punkte gegeben sind: Setzte sie in die Funktion ein und löse das Gleichungssystem. Das wird hier nicht ganz funktionieren, da die letzte Bedingung ja noch benötigt wird, aber die kannst Du danach einsetzen.
Einfacher ist in jedem Fall die eben erwähnte Produktform.

Ich denke, eine Produktform haben wir im Unterricht noch nicht durchgenommen.
Wie genau ist die letzte Bedingung einzusetzen ?
Und das meinte ich, das Gleichungssystem ergibt für a, b und c null, wenn ich die vierte Bedingung vernachlässige.

04.06.2012, 23:04

Helferlein

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Tut es sicher nicht, aber Du willst ja deine Rechnung anscheinend auch nicht preisgeben. Wie soll ich Dir da den Fehler zeigen?

Du hast eine Funktion dritten Grades, also vier Parameter, aber nur drei Gleichungen (=Bedingungen). Der Lösungsraum ist also mindestens eindimensional und kann somit nicht nur die Nullfunktion enthalten.

Zum Thema Produktform: Zerlegung in Linearfaktoren hattet ihr? Oder den Satz vom Nullprodukt?
Wenn nicht, dann sag mir bitte, ob Du die Nullstellen der Funktion $\begin{eqnarray*} f(x)=(x-50)^3(x+2)^2 \end{eqnarray*}$ angeben kannst.

04.06.2012, 23:13

Fabian0504

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Zitat:

Original von Helferlein
Tut es sicher nicht, aber Du willst ja deine Rechnung anscheinend auch nicht preisgeben. Wie soll ich Dir da den Fehler zeigen?

Ich hab ganz einfach die Matrix mit den drei Punkten in den Taschenrechner eingegeben und dann mit dem Gauß-Algo lösen lassen.

0 0 0 0
1 1 1 0
1 1 -1 0

Und da die y Werte bei jedem der drei Punkte 0 entspricht (die drei Nullstellen) ist es eigentlich auch kein Wunder, dass für a, b und c die Werte 0 sind.

Zitat:

Original von HelferleinZum Thema Produktform: Zerlegung in Linearfaktoren hattet ihr? Oder den Satz vom Nullprodukt?
Wenn nicht, dann sag mir bitte, ob Du die Nullstellen der Funktion $\begin{eqnarray*} f(x)=(x-50)^3(x+2)^2 \end{eqnarray*}$ angeben kannst.

Die Begriffe an sich sagen mir nichts, allerdings kann ich dir sagen, dass die Nullstellen bei x = 50 und bei x = -2 liegen müssen.

04.06.2012, 23:46

Helferlein

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Na sieh mal einer an...woher weisst Du das?
Lässt sich das nicht vielleicht auf Polynome übertragen, deren Nullstellen Du kennst? Zum Beispiel ein Polynom dritten Grades mit den Nullstellen 0,1 und -1 ?

05.06.2012, 01:00

mYthos

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Noch ein Hinweis:
Vor diesem Polynom sollte allerdings noch unbedingt ein Faktor a stehen, denn die Nullstellen alleine erzeugen das Polynom noch nicht eindeutig. Dieser Faktor ist dann aus einer weiteren gegebenen Bedingung zu errechnen...

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