Kongruenzgleichung

Neue Frage »

04.06.2012, 17:54

PeterH

Auf diesen Beitrag antworten »

Kongruenzgleichung

Hallo alle miteinander,

...

Mfg PeterH

04.06.2012, 18:21

carm561

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Anzahl der Lösungen einer quadratischen Kongruenzgleichung
Hallo Peter,
wie viele Lösungen bekommst du, wenn $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ eine Primzahl ist?

04.06.2012, 18:31

PeterH

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Anzahl der Lösungen einer quadratischen Kongruenzgleichung
...

04.06.2012, 18:38

Mystic

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Anzahl der Lösungen einer quadratischen Kongruenzgleichung

Zitat:

Original von PeterH

Zitat:

Hallo Peter, wie viele Lösungen bekommst du, wenn $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ eine Primzahl ist?

Eine. Nämlich für x = n-1

Irgendwas kann da nicht stimmen, denn du hattest ja oben geschrieben, dass - ausgenommen Potenzen von 2 - stets 2 Lösungen im Bereich 0<x<n existieren... Wo ist also hier die zweite? verwirrt

04.06.2012, 18:39

carm561

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Anzahl der Lösungen einer quadratischen Kongruenzgleichung
Damit ist deine Vermutung, dass das "für alle Zahlen der Fall ist, die keine Potenz von zwei sind", vom Tisch, oder?
@Mystic: Sehe ich genauso, warst schneller ...
Da gibt's m.E. auch keine zweite, weil $\begin{eqnarray*} (\mathbb{Z}/n\mathbb{Z})^* \end{eqnarray*}$ in dem Fall ein Körper ist.

04.06.2012, 18:43

PeterH

Auf diesen Beitrag antworten »

...

04.06.2012, 18:44

Mystic

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Anzahl der Lösungen einer quadratischen Kongruenzgleichung
Die Frage ist ja auch, was der Faktor $\begin{eqnarray*} \frac 12 \end{eqnarray*}$ überhaupt bedeutet, wenn n gerade oder - horribile dictu- sogar 2 ist... Damit bin ich aber dann hier weg, T'schuldigung für die Einmischung... Wink

04.06.2012, 18:49

carm561

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Anzahl der Lösungen einer quadratischen Kongruenzgleichung
Der Fall $\begin{eqnarray*} n=2 \end{eqnarray*}$ wird wegen $\begin{eqnarray*} 0<x<n \end{eqnarray*}$ ziemlich übersichtlich smile

Ansonsten ist ja entweder $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} x+1 \end{eqnarray*}$ gerade und man kann den Faktor $\begin{eqnarray*} \frac{1}{2} \end{eqnarray*}$ schon unterbringen.

04.06.2012, 18:56

PeterH

Auf diesen Beitrag antworten »

...

04.06.2012, 19:10

carm561

Auf diesen Beitrag antworten »

Weder das eine, noch das andere.
Es war nur eine Anwort auf die - berechtigte - Frage von Mystic, wie man mit dem Faktor $\begin{eqnarray*} \frac{1}{2} \end{eqnarray*}$ umgehen kann.
Bitte um Entschuldigung für die Verwirrung. Die Aufgabe ist einwandfrei formuliert.
Leider habe ich für gerades $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ auch noch keine brauchbare Lösung.

04.06.2012, 19:56

Mystic

Auf diesen Beitrag antworten »

Bitte habt etwas Geduld mit mir, aber wegen dem Faktor $\begin{eqnarray*} \frac 12 \end{eqnarray*}$ für gerades n hab ich nach wie vor ein großes Problem... Seh ich das richtig, dass ihr den Faktor 2 einfach kürzen wollt, weil ja auch x(x+1) unabhängig von der Parität von x auf jeden Fall gerade ist...

Aber gerade das "Kürzen" ist für mich Teil des Problems... Wenn man nämlich die zweifelsohne richtige Kongruenz

$\begin{eqnarray*} 2 \cdot 1 \equiv 2 \cdot 6 \mod 10 \end{eqnarray*}$

durch 2 kürzt, erhält man den offensichtlichen Unsinn

$\begin{eqnarray*} 1 \equiv 6 \mod 10 \end{eqnarray*}$

Also ist mir diese Kürzerei durch 2 hier für gerades n schon sehr suspekt... geschockt

Bei ungeradem n habe ich dagegen keine Probleme damit denn das Inverse zu 2 (nichts anderes ist ja 1/2) existiert ja dann, insbesondere darf dann auch nach Herzenslust durch 2 gekürzt werden... Augenzwinkern

Edit: Was anderes ist es, wenn man den Modul bei der "Kürzerei" miteinbezieht... Ich bezweifle aber, dass PerterH solches im Sinn hatte...

04.06.2012, 20:19

carm561

Auf diesen Beitrag antworten »

Siehst du richtig, so habe ich es jedenfalls interpretiert: Du berechnest $\begin{eqnarray*} \frac{1}{2}x(x+1) \end{eqnarray*}$ in $\begin{eqnarray*} \mathbb{N} \end{eqnarray*}$ und dann erst den Rest $\begin{eqnarray*} \bmod n \end{eqnarray*}$ .
Für gerades $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ ist die 2 ein Nullteiler und man dividiert sich in der Tat in Teufels Küche.

Immerhin kann ich inzwischen zeigen, dass es mindestens eine Lösung gibt, falls 8 Teiler von $\begin{eqnarray*} n-2 \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} n+2 \end{eqnarray*}$ ist.

04.06.2012, 21:04

PeterH

Auf diesen Beitrag antworten »

...

04.06.2012, 23:08

carm561

Auf diesen Beitrag antworten »

@PeterH: Guter Hinweis.
Man kann sich leicht überlegen, dass $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ genau dann Lösung der Ausgangsgleichung ist, wenn es deine Gleichungen (I) und (II) löst.

Ich kann zeige, dass die Ausgangsgleichung lösbar ist, wenn $\begin{eqnarray*} n=2^ed \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} e\in \{0,1\} \end{eqnarray*}$ und ungeradem d ist.
Wenn du deine Aussage über die Zweierpotenzen zeigen kannst, sind wir fertig smile

05.06.2012, 12:03

PeterH

Auf diesen Beitrag antworten »

...

Neue Frage »

Antworten »

Kongruenzgleichung

Verwandte Themen