Unterschied Ring <-> Körper

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xcx32 Auf diesen Beitrag antworten »
Unterschied Ring <-> Körper
Meine Frage:
Hallo!

Was ist der genaue Unterschied zwischen Ring und Körper? Ich weiß, dass ein Ring zu einem Körper wird, sobald R\{0} bzgl. der Multiplikation eine Gruppe bildet.
D.h. da ja der Ring bereits einige Eigenschaften dieser Gruppe (Abgeschlossenheit der Multiplikation, Assoziativität) besitzt, ist der Unterschied nur die Existenz der neutralen Elements und des inversen Elements?

Danke im Voraus!

Meine Ideen:
Ich glaube, dass der Unterschied der ist, dass der Körper ein neutrales und inverses Element der Multiplikation besitzt. Allerdings steht im Buch nur etwas vom inversen Element, nichts vom neutralen Element der Multiplikation
Captain Kirk Auf diesen Beitrag antworten »

Ich hege den starken Verdacht dass du ein Verständnisproblem bzgl. der Inversen (wohlgemerkt Plural) hast.
Ein Ring ist ein Körper, wenn
a) jedes Element des Rings außer der Null ein (multiplikatives) Inverses hat,
und nicht zu vergessen
b) die Multiplikation kommutiv ist,
und je nachdem was ihr als Ring definiert habt
c) wenn er eine 1 hat. (multiplikatives neutrales Element.)

Einfaches Bsp.:
ist kein Körper, denn nur 1 und -1 sind invertierbar,
dagegen ist ein Körper.
pseudo-nym Auf diesen Beitrag antworten »

Inwiefern sich Ring- und Körperaxiome unterscheiden kommt auf eine Konvention an.
Manche Autoren verlangen in einem Ring eine eins, also ein neutrales Element der Multiplikation, andere lassen auch Ringe ohne eins zu.
In deinem Buch scheint ersteres zu gelten. In diesem Fall, ist jeder Ring in dem alle Elemente außer der Null ein Inverses haben ein Körper.

@Edit: Kirk hat recht. Die Multipikation muss kommutativ sein. Kommutative Algebra hat mich diesbezglich verblödet.
xcx32 Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo!

Danke für die Antworten, habs jetzt verstanden.
Und sorry für die sehr späte Antwort, ich habe den Thread nicht vergessen, sondern nur vergessen, zu antworten.
mathinitus Auf diesen Beitrag antworten »

Man sollte die 1 auf jeden Fall vor dem Inversen verlangen.
Mystic Auf diesen Beitrag antworten »

Außerdem sollte ein Körper noch mindestens 2 Elemente haben, was man auch durch die Bedingung sicherstellen kann...
 
 
mathinitus Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Mystic
Außerdem sollte ein Körper noch mindestens 2 Elemente haben, was man auch durch die Bedingung sicherstellen kann...

Stimmt, das wurde vergessen. Im Ring darf nämlich durchaus 0=1 sein, dann bekommt man den sogenannten einelementigen Nullring.
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