Laplace-Transformation

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04.06.2012, 23:12	binomialkoeffizient	Auf diesen Beitrag antworten »
Laplace-Transformation Hey Aufgabe: Bestimmen Sie mit Hilfe der Definition der Laplace-Transformation die Bildfunktion der folgenden Originalfunktion. $\begin{eqnarray} f(t)=2te^{-4t},t\geq 0 \end{eqnarray}$ In der Tabelle steht einmal das $\begin{eqnarray} f(t)=e^{at}, F(p)=\frac{1}{-p-a} \end{eqnarray}$ und dann gibts ja noch $\begin{eqnarray} f(t)=\frac{t^{n-1}}{(n-1)!}e^{-p_1t}, F(p)=\frac{1}{(p+p_1)^n} \end{eqnarray}$ Welches von denen muss ich wählen?
04.06.2012, 23:45	Equester	Auf diesen Beitrag antworten »
Klammere 2 aus. Unteres entspricht dann genau dem, was wir brauchen .
05.06.2012, 00:20	binomialkoeffizient	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich komm damit irgendwie nicht klar. Kann ich nicht einfach die Variablen bestimmen $\begin{eqnarray} f(t)=\frac{t^{2-1}}{(2-1)!}e^{-4t} \end{eqnarray}$ und dann einfach hier reinmachen? $\begin{eqnarray} F(p)=\frac{1}{(p-4)^2} \end{eqnarray*}$ Die Frage ist dann, was ist p ?
05.06.2012, 00:28	Equester	Auf diesen Beitrag antworten »
Das ist dein neuer Parameter. Du hast doch eine Transformation gemacht . t spielt also nicht mehr mit. Der neue Mitspieler ist p. Vergiss die 2 nicht. Die kommt noch rein. Ein Fehler hast du sonst nur noch in der Klammer des Nenners. Ein Vorzeichenfehler.
05.06.2012, 00:36	binomialkoeffizient	Auf diesen Beitrag antworten »
Aah mir geht ein Licht auf Das mit dem Vorzeichen scheint auch verstanden zu sein. -p1=-4, dann ist p1=4 logischerweise. Also heißt es $\begin{eqnarray} F(p)=\frac{2}{(p+4)^2} \end{eqnarray}$ ?
05.06.2012, 00:37	Equester	Auf diesen Beitrag antworten »
Dem kann ich zustimmen .
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05.06.2012, 00:47	binomialkoeffizient	Auf diesen Beitrag antworten »
Juhu Der nächste Schritt ist komisch. Es heißt ja: $\begin{eqnarray} \int_0^\infty f(t)e^{-pt} \, dt \end{eqnarray*}$ Was hat mir denn jetzt die Transformation gebracht?
05.06.2012, 01:00	Equester	Auf diesen Beitrag antworten »
Naja, wenn du die Tabelle nicht zur Hand hast, dann rechnest du es eben mit dem Integral aus . Bin aber nun im Bett, gute Nacht
05.06.2012, 01:01	binomialkoeffizient	Auf diesen Beitrag antworten »
Gute Nacht
05.06.2012, 12:31	binomialkoeffizient	Auf diesen Beitrag antworten »
Hey, kann ich das so hinschreiben, wenn ich das mit Integralen Transformiere? $\begin{eqnarray} F(p)=\int_0^\infty \ \,e^{-pt}2te^{-4t} dt \end{eqnarray*}$
05.06.2012, 12:41	Equester	Auf diesen Beitrag antworten »
Genau . Und wenn du das Integral nun richtig ausrechnest, sollte das gleiche rauskommen, wie was wir aus der Tabelle erhalten haben .
05.06.2012, 13:22	binomialkoeffizient	Auf diesen Beitrag antworten »
Das kann ich ja zusammenfassen. $\begin{eqnarray} F(p)=2\int_0^\infty \!te^{-t(p+4)} \, dt \end{eqnarray}$ Jetzt partielle Integration. $\begin{eqnarray} u=t,u'=1 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} v=e^{-t(p+4)},v'=\int \!e^{-t(p+4)} \end{eqnarray}$ Substitution. z=pt+4t z'=p+4 $\begin{eqnarray} \int \!\frac{1}{e^z}\frac{dz}{p+4} \end{eqnarray*}$ Ab hier hagt's bei mir. Bin erst Heute Abend wieder da.
05.06.2012, 13:36	Equester	Auf diesen Beitrag antworten »
Für was machst du denn die Substitution? $\begin{eqnarray} f(x)=e^{at} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} F(x)=\frac{1}{a}e^{at} \end{eqnarray}$ (Edit: + c natürlich) Das wars schon^^ Was hast du denn dann mal stehen?
06.06.2012, 00:41	binomialkoeffizient	Auf diesen Beitrag antworten »
Hört sich ziemlich einfach an. $\begin{eqnarray} f(p)=2te^{-t(p+4)} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} F(p)=2\frac{t}{-t(p+4)}e^{-t(p+4)} \end{eqnarray*}$ Stimmt das so?
06.06.2012, 07:56	Equester	Auf diesen Beitrag antworten »
Naja, die partielle Integration musst du schon machen^^. Ich dachte deine Substitution bezieht sich auf v'. Das wäre etwas umständlich. v' kannst du direkt angeben.
06.06.2012, 12:37	binomialkoeffizient	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja das ist mir schon klar^^ Ich muss ja für die partielle Integration einmal u und v' bestimmen. u=t u'=1 und $\begin{eqnarray} v'=2te^{-t(p+4)} \end{eqnarray}$ Das muss ich ja integrieren damit ich v herrausbekomme. Danach kann ich ja partiell integrieren
06.06.2012, 13:20	Equester	Auf diesen Beitrag antworten »
Das hattest du als erstes Behauptet: $\begin{eqnarray} v'=e^{-t(p+4)},v=\int \!e^{-t(p+4)} \end{eqnarray}$ Da sitzt das ' an der falschen Stelle. Das rechte jetzt zu integrieren ist wie ich sagte auch ohne p.I. zu lösen. -> $\begin{eqnarray} v'=2te^{-t(p+4)} \end{eqnarray}$ Wo kommt das auf einmal her?
06.06.2012, 13:50	binomialkoeffizient	Auf diesen Beitrag antworten »
Sorry mein Schreibfehler. Die 2t gehören nicht dazu. Ich verstehe nicht wieso das ' an der falschen Stelle sein soll? Das rechte Integral gelöst: $\begin{eqnarray} v=-\frac{1}{p+4}e^{-t(p+4)} \end{eqnarray}$
06.06.2012, 16:32	Equester	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja, das v ist nun richtig. Du hattest es ursprünglich als v' bezeichnet. Hier: $\begin{eqnarray} v=e^{-t(p+4)},v'=\int \!e^{-t(p+4)} \end{eqnarray}$ (13:22 Uhr) Wie sieht dann die p.I. aus?
06.06.2012, 21:58	binomialkoeffizient	Auf diesen Beitrag antworten »
Du hattest wiedermal recht. Sorry $\begin{eqnarray} \int \,2te^{-t(p+4)} dt= \frac{1}{p+4}te^{-t(p+4)}-\int \,te^{-t(p+4)} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \int \,2te^{-t(p+4)} dt= \frac{1}{p+4}te^{-t(p+4)}-[-\frac{1}{p+4}e^{-t(p+4)}] \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} 2[-\frac{1}{p+4}e^{-t(p+4)}]= \frac{1}{p+4}te^{-t(p+4)}-[-\frac{1}{p+4}e^{-t(p+4)}] \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} 2[-\frac{1}{p+4}e^{-t(p+4)}]= \frac{1}{p+4}e^{-t(p+4)}(1+t) \end{eqnarray*}$ Stimmt das bis dahin? Kann ich das noch geschickter machen?
06.06.2012, 22:15	Equester	Auf diesen Beitrag antworten »
1. Fehlt die 2 2. Fehlt das Minus vor dem ersten Bruch (es heißt ja -t im Exponenten. v hattest du doch schon richtig bestimmt) 3. Du hast die partielle Integration genau falschrum gemacht, wie du es berechnet hast . $\begin{eqnarray} \int \color{red}v'\color{green}u\color{black}=vu-\int vu' \end{eqnarray}$ mit: $\begin{eqnarray} \color{green}u\color{black}=t,u'=1 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \color{red}v'\color{black}=e^{-t(p+4)}, v=-\frac{1}{p+4}e^{-t(p+4)} \end{eqnarray}$ Probiere es erneut. Diesmal richtig^^.
06.06.2012, 22:31	binomialkoeffizient	Auf diesen Beitrag antworten »
Kann ich auch u=2t wählen? $\begin{eqnarray} 2[-\frac{1}{p+4}e^{-t(p+4)}]=2-\frac{1}{p+4}e^{-t(p+4)}-2[\frac{1}{p+4}^2e^{-t(p+4)}] \end{eqnarray}$ Durch 2 teilen. $\begin{eqnarray} -\frac{1}{p+4}e^{-t(p+4)}=-\frac{1}{p+4}e^{-t(p+4)}-[\frac{1}{p+4}^2e^{-t(p+4)}] \end{eqnarray*}$
06.06.2012, 22:42	Equester	Auf diesen Beitrag antworten »
Naja, eigentlich schreibt man die 2 einfach vor das Integral. Man beachtet es nicht weiter (vergisst es aber nicht). Was solln das sein? Wo sind zum Beispiel die t's im u? Schreibs doch mal genau so hin, wie ich es hingeschrieben hab. Die rechte Seite sieht wie aus?
06.06.2012, 22:52	binomialkoeffizient	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} -t\frac{1}{p+4}e^{-t(p+4)}=-t\frac{1}{p+4}e^{-t(p+4)}-[\frac{1}{(p+4)^2}e^{-t(p+4)}] \end{eqnarray}$ so?
06.06.2012, 23:15	Equester	Auf diesen Beitrag antworten »
Da hast du dann das Integral was man mit der p.I. erhält auch schon integriert. Ist richtig (die 2 nicht vergessen).
06.06.2012, 23:33	binomialkoeffizient	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich verstehe nicht wieso die 2 jetzt noch da hinkommt.
06.06.2012, 23:47	Equester	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} \int \,\color{red}2\color{black}te^{-t(p+4)} dt \end{eqnarray}$ Naja, wir hatten halt noch ne 2 bei unserer Aufgabe dabei . Die linke Seite von dir hatte ich übrigens gar nicht kontrolliert. Die war auch nicht richtig: Die rechte Seite ist obiges und nicht mit $\begin{eqnarray} -t\frac{1}{p+4}e^{-t(p+4)} \end{eqnarray}$ . Ich glaube um es etwas zu entwirren, zeige ich dir mal, wie man das richtig macht . Wir haben: $\begin{eqnarray} \int \,2te^{-t(p+4)} dt \end{eqnarray}$ Ansatz für p.I. $\begin{eqnarray} \int \color{red}v'\color{green}u\color{black}=vu-\int vu' \end{eqnarray}$ mit: $\begin{eqnarray} \color{green}u\color{black}=t,u'=1 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \color{red}v'\color{black}=e^{-t(p+4)}, v=-\frac{1}{p+4}e^{-t(p+4)} \end{eqnarray}$ Einsetzen: $\begin{eqnarray} \int \,2te^{-t(p+4)} dt=[-2t\frac{1}{p+4}e^{-t(p+4)}]-[\frac{2}{(p+4)^2}e^{-t(p+4)}] \end{eqnarray}$ Setze dann noch die Grenzen ein und wir kommen auf das Ergebnis von $\begin{eqnarray} F(p)=\frac{2}{(p+4)^2} \end{eqnarray}$ . Wie du gesehen hast, ist das etwas komplizierter zu bewerkstelligen und auch sehr fehlerlastig. Deswegen gibt es die Tabellen. (Es liegt allerdings auch an deinem Problem mit dem Umgang der Integration Das solltest du dir nochmals anschaun ).
07.06.2012, 01:01	binomialkoeffizient	Auf diesen Beitrag antworten »
Hab mir das nochmal in aller Ruhe angeschaut. Hab jetzt alles nachvollzogen. $\begin{eqnarray} \int%20\,2te^{-t(p+4)}%20dt=2[-\frac{1}{p+4}te^{-t(p+4)}]-\frac{1}{(p+4)^2}e^{-t(p+4)}] \end{eqnarray}$ Das mit den Grenzen versuch ich Morgen zu machen. Muss morgen früh aus'm Bett hüpfen^^ Gute Nacht
07.06.2012, 12:25	Equester	Auf diesen Beitrag antworten »
Jetzt siehts gut aus .
07.06.2012, 22:46	binomialkoeffizient	Auf diesen Beitrag antworten »
So jetzt die Grenzen ausrechnen. $\begin{eqnarray} \int \! \, 2te^{-t(p+4)}%20dt=2[-\frac{1}{p+4}te^{-t(p+4)}]-\frac{1}{(p+4)^2}e^{-t(p+4)}] \end{eqnarray}$ Untere Grenze. $\begin{eqnarray} 2\lim_{a \to 0} -\frac{1}{p+4}ae^{-a(p+4)}-\frac{1}{(p+4)^2}e^{-a(p+4)}=-\frac{2}{(p+4)^2} \end{eqnarray}$ Obere Grenze. $\begin{eqnarray} 2\lim_{b \to \infty} -\frac{1}{p+4}be^{-b(p+4)}-\frac{1}{(p+4)^2}e^{-b(p+4)} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} 2\lim_{b \to \infty} -\frac{1}{(p+4)^2}e^{-b(p+4)}=0 \end{eqnarray}$ L'hospital $\begin{eqnarray} 2\lim_{b \to \infty} -\frac{1}{p+4}be^{-b(p+4)}=\frac{b}{e^{b(p+4)}}=\frac{1}{\frac{1}{p+4}e^{b(p+4)}}=0 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \int_0^\infty \! \,2te^{-t(p+4)} dt=0-0-2[-\frac{1}{(p+4)^2}]=\frac{2}{(p+4)^2} \end{eqnarray}$
07.06.2012, 23:12	Equester	Auf diesen Beitrag antworten »
Genau .
08.06.2012, 12:41	binomialkoeffizient	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke für die Hilfe

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