Nochmals Frage zur DGL 2. Ordnung

04.06.2012, 17:37	tylerd82	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: DGL 2. Ordnung AWP und Approximation Aha, da ging wohl was mit den Gleichungen schief, also nochma mit latex. Zur ersten Aufgabe (weitere werden vermutlich folgen): y'' = $\begin{eqnarray} \frac{2y}{\sqrt{1+y²} } -2y \end{eqnarray}$ 1. Reduktion der Ordnung: x1 = y x2 = y' => x' = $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} x'1 \\ x'2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x2 \\ \frac{2x1}{\sqrt{1+x1²} } -2x1 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ 2. Formulieren des AWP für die reduzierte DGL System aus 1. mit y(0) = 1 , y'(0) = 5 Tja, da hörts schon auf, was soll ich da formulieren? y(0) = x1(0) = 1 ? y'(0) = x2(0) = 5 ? 3. Approximation auf dem Gitter T={0 , 0.2 , 0.5} mittels Euler Verfahren: => t0 = 0 t1 = 0.2 t2 = 0.5 => h0 = 0.2 h1 = 0.3 Wenn ich jetzt die Eulergleichung für x~1 und x~2 nehme: x~2(ti+1) = x~2(ti) + hif(ti, x~2(ti)) x~1(ti+1) = x~1(ti) + hi x~2(ti) und dann einsetze erhalte ich für x~2: x~2(0) = 5 x~2(0.2) = 5 * 0.2* $\begin{eqnarray} \frac{25}{\sqrt{1+5²} } \end{eqnarray}$ x~2(0.2) = 5,392 x~2(0.5) = 5,392 + ... x~2(0.5) = 5,982 für x~1 ergibt sich: x~1(0) = 0 x~1(0.2) = 1+ 0,2(5,392) x~1(0.2) = 2,08 x~1(0.5) = 3,873 Nun frage ich mich, is das alles so korrekt? Was mache ich nun mit den Ergebnissen aus 3? Wie würde ich diese im Richtungsfeld bspw. einzeichnen? EDIT(Helferlein): Beiträge zusammengefügt, da noch nicht einmal 7 Stunden seit dem ersten vergangen sind. Das ist viel zu früh, um einen neuen Thread mit demselben Thema zu eröffnen, auch wenn noch niemand geantwortet hat.
05.06.2012, 00:31	tylerd82	Auf diesen Beitrag antworten »
Nochmals Frage zur DGL 2. Ordnung Ich weißt nicht ob ich es im anderen Thema falsch angegangen bin, oder ob mir tatsächlich keiner helfen kann (was ich in diesem Forum bezweifle ) Also nochmal, die Aufgabenstellung ist folgende: 1. Reduktion der Ordnung in zweidimensionale Differentialgleichung erster Ordnung $\begin{eqnarray} y'' = \frac{2y}{\sqrt{1+y²} } -2y \end{eqnarray}$ Mein Ergebnis $\begin{eqnarray} x' = \begin{pmatrix} x'_{1} \\ x'_{2} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x_{2} \\ \frac{2x_{1}}{\sqrt{1+x_{1}² } } - 2x_{1} \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ 2. Formulieren des Anfangswertproblems für das reduzierte System von oben für y(0) = 1 und y'(0) = 5 Gute Frage, habe einfach gleichgesetzt: $\begin{eqnarray} y(0) = x_{1}(0) = 1 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} y'(0) = x_{2}(0) = 5 \end{eqnarray}$ 3. Bestimmung einer Approximation mit Hilfe des Euler-Verfahrens auf dem Gitter Tau = {0, 0.2 , 0.5} Ergebnisse für ~ $\begin{eqnarray} x_{2} \end{eqnarray}$ ~ $\begin{eqnarray} x_{2} \end{eqnarray}$ (0) = 5 ~ $\begin{eqnarray} x_{2} \end{eqnarray}$ (0.2) = 5,392 ~ $\begin{eqnarray} x_{2} \end{eqnarray}$ (0.5) = 5,982 Ergebnisse für ~ $\begin{eqnarray} x_{1} \end{eqnarray}$ ~ $\begin{eqnarray} x_{1} \end{eqnarray}$ (0) = 0 ~ $\begin{eqnarray} x_{1} \end{eqnarray}$ (0.2) = 2,08 ~ $\begin{eqnarray} x_{1} \end{eqnarray}$ (0.5) = 3,873 So weit zu den Aufgaben und Ergebnissen. Kann das jemand bestätigen? Rechenwege hab ich diesmal übersichtshalber weggelassen. Bei DGL erster Ordnung lassen sich die Punkte dann wunderbar ins Richtfeld einzeichnen. Was mache ich aber nun wenn ich von n-ter Ordnung reduziert habe? Wie bringe ich die Vielzahl der Ergebnisse von ~x in Bezug zueinander? Hoffe wirklich mir kann da jemand helfen, stehe aufm Schlauch Besten Dank!

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