Trägheitstensor bestimmen

05.06.2012, 12:05	tensorius	Auf diesen Beitrag antworten »
Trägheitstensor bestimmen moin, Es geht um diese Aufgabe: Ein starres System sei aus vier Massepunkten (z. Bsp. starr verbunden durch masselose Stäbe) gegeben: • m1 = 2m bei r1 = ae1 + ae2 • m2 = 2m bei r2 = ae2 • m3 = m bei r3 = −2ae1 − 2ae2 • m4 = m bei r4 = −2ae2 (a) Berechnen Sie den Trägheitstensor in der Basis {e1 , e2 , e3 }. (b) Bestimmen Sie die Hauptträgheitsmomente und -achsen. leider hab ich überhaupt keine Ahnung wie ich das machen soll, bei der Vorlesung konnte ich leider nicht dabei sein Ich weiß nur das es zb diese Formel gibt: L = (m2-m1)[(r²w)-(rw)r] und das man den zweiten Ausdruck als riesigen Tensor schreiben kann, wo überall I und w drin ist aber da hab ich ja überhaupt nix gegeben Gruß
06.06.2012, 09:54	Ehos	Auf diesen Beitrag antworten »
Was ist der Trägheitstensor und wie wird er berechnet? ----------------------------------------------------------------------------- Der Impuls eines einzelnen Massepunktes der Masse m, der sich am Ort $\begin{eqnarray} \vec x \end{eqnarray}$ mit der Winkelgeschwindigkeit $\begin{eqnarray} \vec \omega \end{eqnarray}$ dreht, ist bekanntlich $\begin{eqnarray} \vec p= m\vec x \times \vec \omega \end{eqnarray}$ . Da der Drehimpuls definiert ist als $\begin{eqnarray} \vec L=\vec x \times \vec p \end{eqnarray}$ , erhält man durch Einsetzen der ersteren Formel $\begin{eqnarray} \vec L=m\vec x \times \vec x \times \vec \omega \end{eqnarray}$ . Der Gesamtdrehimpuls einer Punktwolke ist die Summe der einzelnen Drehimpulse, also $\begin{eqnarray} \vec L=\sum\limits_{k=1}^n m_k\vec x_k \times \vec x_k \times \vec \omega \end{eqnarray}$ Anwenden der allgemeinen Regel $\begin{eqnarray} \vec a \times (\vec b \times \vec c)=\vec b(\vec a\vec b)-\vec c(\vec a\vec b) \end{eqnarray}$ ergibt. $\begin{eqnarray} \vec L=\sum\limits_{k=1}^n m_k\vec x_k (\vec x_k \vec \omega)-\sum\limits_{k=1}^nm_k\vec \omega (\vec x_k \vec x_k) \end{eqnarray}$ Die beiden Summen kann man in Matrixform wie folgt schreiben $\begin{eqnarray} \vec L=\underbrace{\left [ \sum\limits_{k=1}^nm_k\begin{pmatrix} x_kx_k & x_ky_k & x_kz_k \\ y_kx_k & y_ky_k & y_kz_k \\ z_kx_k & z_ky_k & z_kz_k \end{pmatrix}-\sum\limits_{k=1}^n m_k \begin{pmatrix} x_k^2+y_k^2+z_k^2 & 0 \\ 0 & x_k^2+y_k^2+z_k^2 & 0 \\ 0 & 0 & x_k^2+y_k^2+z_k^2 \end{pmatrix} \right ]}_{\text{Diese 3x3-Matrix bezeichnet man als Trgheitstensor J}} \begin{pmatrix} \omega_1 \\ \omega_2 \\ \omega_3 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Da die Winkelgeschwindigkeit $\begin{eqnarray} \omega \end{eqnarray}$ für alle n starr verbundenen Punkte identisch ist (wie bei einem starren Körper), konnte man sie aus der Summe herausziehen. Für die letzte Gleichung kann man also verkürzt schreiben $\begin{eqnarray} \vec L=J\vec \omega \end{eqnarray}$ . Diese Vereinfachung ist die Motivation für die Einführung des Trägheitstensors J. Die Winkelgeschwindigkeit und der Drehimpuls zeigen also nicht immer in dieselbe Richtung! Wichtig ist, dass J eine Eigenschaft des starren Körpers ist und folglich nicht von der Drehzahl oder der Drehrichtung abhängt, also nicht von $\begin{eqnarray} \vec \omega \end{eqnarray}$ . Bestimme den Trägheittensor J durch Aufaddieren der einzelnen Matrixelemente. Die Haupträgheitsmomente sind die 3 Eigenwerte und die Hauptträgheitsachsen die 3 auf 1 normierten Eigenvektoren von J. Erstere sind reell, letztere sind senkrecht, weil J offenbar symmetrisch ist.

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