Grad einer konkreten Körpererweiterung

05.06.2012, 16:57

Simooon

Grad einer konkreten Körpererweiterung

Hallo,

ich habe eine kurze Frage zum Verständnis des Grades einer Körpererweiterung und der Gradformel.

Gesucht $\begin{eqnarray*} \deg\left(\mathbb{Q}(\sqrt[4]{2},i)|\mathbb{Q}\right) \end{eqnarray*}$

Nach der Gradformel gilt:

$\begin{eqnarray*} \deg\left(\mathbb{Q}(\sqrt[4]{2},i)|\mathbb{Q}\right)=\deg\left(\mathbb{Q}(\sqrt[4]{2},i)|\mathbb{Q}(i)\right)\cdot\deg\left(\mathbb{Q}(i)|\mathbb{Q}\right) \end{eqnarray*}$

Wegen $\begin{eqnarray*} i^{2}=-1\in\mathbb{Q} \end{eqnarray*}$ , hat $\begin{eqnarray*} \mathbb{Q}(i)|\mathbb{Q} \end{eqnarray*}$ die Basis $\begin{eqnarray*} 1,i \end{eqnarray*}$ . Also $\begin{eqnarray*} \deg\left(\mathbb{Q}(i)|\mathbb{Q}\right)=2 \end{eqnarray*}$

Wegen $\begin{eqnarray*} \left(\sqrt[4]{2}\right)^{4}=2 \end{eqnarray*}$ , hat $\begin{eqnarray*} \mathbb{Q}(\sqrt[4]{2},i)|\mathbb{Q}(i) \end{eqnarray*}$ die Basis $\begin{eqnarray*} 1,i,\sqrt[4]{2},\sqrt[4]{2}^{2},\sqrt[4]{2}^{3} \end{eqnarray*}$

Also $\begin{eqnarray*} \deg\left(\mathbb{Q}(\sqrt[4]{2},i)|\mathbb{Q}(i)\right)=5 \end{eqnarray*}$

Insgesamt:

$\begin{eqnarray*} \deg\left(\mathbb{Q}(\sqrt[4]{2},i)|\mathbb{Q}\right)=5\cdot 2=10 \end{eqnarray*}$

Kann man das so machen? Wir haben in der Vorlesung leider bisher kein so konkretes Beispiel durchgerechnet.

05.06.2012, 17:02

Captain Kirk

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Zitat:

$\begin{eqnarray*} \mathbb{Q}(\sqrt[4]{2},i)|\mathbb{Q}(i) \end{eqnarray*}$ die Basis $\begin{eqnarray*} 1,i,\sqrt[4]{2},\sqrt[4]{2}^{2},\sqrt[4]{2}^{3} \end{eqnarray*}$

ist falsch.
i liegt bereits im Grundkörper und ist damit linear abhängig zu 1.
Ansonsten stimmt's, wobei wenn man's genau nimmt fehlt ein Beweis, dass das auch jeweils Basen sind.

05.06.2012, 17:10

Simooon

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Ahja, mit dem 1 und i in Q(i) hab ich nicht bedacht, danke.
Aber was soll man den an der Basis noch groß beweisen? Für einfache Erweiterungen ist die Darstellung doch sehr einfach.

05.06.2012, 17:18

Captain Kirk

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Für einfache Erweiterungen gibt's das Minimalpolynom, da man die Basis gar nicht mehr.
(Wenn's noch nicht dran war kommt's bald.

Zitat:

Aber was soll man den an der Basis noch groß beweisen?

Wie bereits gesagt sollte man imho in der Lage sein zu zeigen, dass die Behauptung
$\begin{eqnarray*} 1,\sqrt[4]{2},\sqrt[4]{2}^{2},\sqrt[4]{2}^{3} \end{eqnarray*}$ ist Basiis der Körpererweiterung, richtig ist. Damit entdeckt man auch Fehler die man nicht bedacht hat. Just my two cents.

05.06.2012, 18:06

Simooon

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Wie steht denn das Minimalpolynom genau im Zusammenhang?

Denn $\begin{eqnarray*} \mathbb{Q}(\sqrt[4]{2},i) \end{eqnarray*}$ habe ich als Zerfällungskörper des Polynoms X^4-2 gefunden.
Hätte mir das direkt gesagt, dass dann
$\begin{eqnarray*} \deg\left(\mathbb{Q}(\sqrt[4]{2},i)|\mathbb{Q}(i)\right)=4 \end{eqnarray*}$ ist, weil dies eine einfache Erweiterung ist und eben $\begin{eqnarray*} \sqrt[4]{2} \end{eqnarray*}$ dieses Minimalpolynom erfüllt.

05.06.2012, 18:34

Captain Kirk

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Ist K(a)|K eine Körpererweiterung und f das Minimalpolynom von a, so gilt:
$\begin{eqnarray*} deg(K(a)| K)=deg(a) \end{eqnarray*}$ .

Damit und mit dem Gradsatz bestimmt man eigentlich alle Gradfragen. (Basis angeben macht man eher selten.)
Und ja
$\begin{eqnarray*} \deg\left(\mathbb{Q}(\sqrt[4]{2},i)|\mathbb{Q}(i)\right)=4 \end{eqnarray*}$
folgt sofort daraus.

Wobei um $\begin{eqnarray*} deg(\mathbb{Q}(\sqrt[4]{2},i) | \mathbb Q)=8 \end{eqnarray*}$ zu zeigen ist folgendes der schnellste Weg.
$\begin{eqnarray*} \mathbb Q \subseteq \mathbb Q(\sqrt[4]{2}) \subseteq \subseteq \mathbb Q(\sqrt[4]{2},i) \end{eqnarray*}$
Die erste Erweiterung hat Grad 4 (mit Min.pol X^4-2, die Irreduzibilität davon ist über Q aber angenehmer als über nem anderen Körper nachzuweisen.), die Zweite hat Grad zwei, da der kleinere der beiden Körper ein Teilkörper der reellen Zahlen ist, der Große aber nicht. (das ist ein oft sehr nützlicher banaler Trick)

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