Exponentielles Wachstum

05.06.2012, 17:56	VitiXx	Auf diesen Beitrag antworten »
Exponentielles Wachstum Hallo Leute, morgen muss ich eine Klausur zum Thema Wachstumsprozesse schreiben und stehe beim Lernen vor einem Problem, genauer gesagt, habe ich Probleme beim exponentiellen Wachstum mit der Basis e. Als Beispiel nehme ich hier die Aufgabe: Milch der Güteklasse 1 enthält etwas 20 000 Keime von Milchsäurebakterien (Laktobazillen) pro ml Milch. In warmer Umgebung nimmt die Zahl der Keime exponentiell zu. Nach 5 Stunden sind bereits ca. 140 000 Keime pro ml vorhanden. Milch wird sauer, wenn sie etwas 1 000 000 Keime pro ml enhält. Berechnen sie, wann sie sauer wird. Also, ich habe mir schon folgende Lösungansätze überlegt: Die Grundform für das exponentielle Wachstum ist: f(t)=f(0)*e^kt f(0) wäre dabei mein Startwert, e ist dabei die Konstante, die ich berechnen muss, um an das Ergebnis zu kommen und hier komme ich einfach nicht weiter. Bei anderen Aufgaben (z.B. Algenwachstum) fand nur eine geringe Zunahme von 4-10% statt, dabei konnte man den Wert einfach logarithmieren und man bekam die Konstante. Wie ist es in diesem Fall, wenn das Wachstum so hoch ist?
05.06.2012, 18:14	adiutor62	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Exponentielles Wachstum Die Gleichung lautet dann: $\begin{eqnarray} 20000e^(k5 )= 140000 \end{eqnarray}$ . Daraus kannst du k berechnen und dann die 2.Gkeichung aufstellen: $\begin{eqnarray} 20000e^(kt) \end{eqnarray}$ = $\begin{eqnarray} 1000000. \end{eqnarray}$ Verwende das ermittelte k und löse nach t auf. Die andere Variante,die du vielleicht meinst, lautet in diesem Fall: $\begin{eqnarray} 20000x^5 = 140000 \end{eqnarray}$ mit ermitteltem x weitergerechnet: $\begin{eqnarray} 20000x^t = 1000000 \end{eqnarray}$ Hier kann man mit Radizieren bzw. Logaritmieren die gesuchten Größen schnell ermitteln. Die Höhe des Wachstums spielt doch bei der Berechung keine Rolle. Ein Wachstum von 4% bedeutet einen Wachstumsfaktor von 1,04 .
05.06.2012, 18:38	VitiXx	Auf diesen Beitrag antworten »
Großen Dank, bin jetzt darauf gekommen. Die Höhe hat mich anfangs nur ziemlich dolle verwirrt.
05.06.2012, 19:04	adiutor62	Auf diesen Beitrag antworten »
Gern geschehen. Am Rande sei erwähnt: Es gibt das bekannte Beispiel mit der Reiskörnerverdoppelung pro Feld auf einem Schachbrett. Da ist der Wachstumsfaktor 2. Wenn du Lust hast berechne mal 2^64 und drücke das in Worten aus.

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