Eigenraum und Hauptraum |
| 05.06.2012, 18:03 | Konvex | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
| Eigenraum und Hauptraum ich gehe gerade ein wenig unsere Lineare Algebra durch und versuche die Themen zu verstehen. Das Meiste verstehe ich nur bei dem Thema Eigenräume/Hauptraum/Jordanform gibt es einige Schwierigkeiten. Erstmal die Definitonen wie wir sie eingeführt haben: Wobei k der Wert ist, ab dem der Kern sich bei weiterem Potenzieren nicht mehr verändert. Soweit so gut. Der Eigenraum ist klar. Was beim Potenzieren der Abbildung mit dem Kern passiert weiss ich,verstehe aber nicht so wirklich den Hintergrund. Welche Vektoren kommen dazu, wenn ich den Kern potenziere? Sind das auch Eigenvektoren? Eventuell Eigenvektoren zu der Potenz von f? Was hat die Kern der Potenzen dieser Abbildung mit dem ursprünglichen Eigenraum zu tun? Konkret hat die Fragestellung mit dem Satz zu tun, der im Anhang zu finden ist. Man findet die Basis quasi, indem man diese durch die Basen der Haupträume zusammenfügt. Dadurch entstehen diese Blöcke. Ich verstehe nur nicht ganz wie die Dreicksform der Blöcke Ai entstehen. Die erste Spalte kommt wohl daher, dass der erste Basisvektor aus dem Eigenraum kommt und somit der Koeffizient bloß dieses Lambda ist. Aber was ist danach? Ich denke das hat mit der Theorie oben zu tun. Ich hoffe wirklich es kann mir wer helfen. Viele Grüße! |
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| 05.06.2012, 20:01 | Morgana | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Welche Vektoren dazukommen, kann man im Allgemeinen nicht sagen. Das sind aber auch immer Eigenvektoren, denn es gilt für beliebige Abbildungen f, dass Kern(f) Teilmenge von Kern(f^k) ist, wobei k eine beliebige natürliche Zahl ist. Natürlich sind die Elemente in nicht nur Eigenvektoren von f, sondern auch Eigenvektoren von f^k (oder sie sind =0). Die Blöcke beschreiben quasi das Verhalten von f auf den verschiedenen Haupträumen, es sind also die Darstellungsmatrizen der Einschränkung von f auf diese Haupträume. Da das charakteristische Polynom von f zerfällt, zerfällt auch das der Einschränkung von f und somit ist jede Einschränkung von f auf einen Hauptraum trigonalisierbar und es stehen dann Eigenwerte der Einschränkung von f auf der Diagonalen der Matrix... |
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| 05.06.2012, 20:17 | Konvex | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Wenn man jetzt beispielweise betrachtet: Gilt dann folgendes? Kann mir das leider nicht wirklich vorstellen was einem das bringt und wie das dann mit den Eigenvektoren zusammenhängt. Im Bezug auf die Ai. Ich frage mich halt wie man die Basen wählt, damit diese Form zustande kommt. Oder sollte man das nicht tun und einfach hinnehmen, dass es so bewiesen ist und gilt? |
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| 06.06.2012, 02:52 | frank09 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Nein, das sind keine Eigenvektoren. Wären es welche, würden sie ja nicht dazukommen, sondern bereits im enthalten sein. Sehr schön erklärt wird es bei http://www.math.uni-augsburg.de/prof/did...ende_Matrix.pdf auf Seite 5 |
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| 06.06.2012, 09:30 | Morgana | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Entschuldigung, wo hatte ich da bloß meinen Kopf... ich wollte eigentlich schreiben, dass jeder Eigenvektor auch ein Hauptvektor ist (dann macht meine Begründung auch Sinn: der Kern der einfachen Potenz ist Teilmenge des Kernes jeder Potenz, also liegt jeder Eigenvektor im Hauptraum). |
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| 06.06.2012, 14:01 | Konvex | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Danke für den Link. Was mich wundert ist das wir das Minimalpolynom überhaupt nicht hatten in der Vorlesung. Deshalb finde ich auch nirgens eine gute Erklärung was der Hauptraum bringt und welche Vektoren zusätzlich zu den eigenvektoren enthalten sind. |
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