Lognormalverteilung

06.06.2012, 08:07

MacGyver1

Lognormalverteilung

Hallo,

folgende Aufgabe ist gegeben: In Deutschland leben 100 Millionen Menschen (die Einwohnerzahl ist etwa log-normalverteilt) in 20000 Gemeinden. Von diesen Gemeinden haben 60% weniger als 10000 Einwohner. Schätze die Anzahl der Großstädte (mehr als 100000 Einwohner).

Mit welchem Rechenansatz würdet ihr diese Aufgabe lösen?

Gruß

M.

06.06.2012, 10:02

HAL 9000

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Zitat:

Original von MacGyver1
(die Einwohnerzahl ist etwa log-normalverteilt)

Ich verstehe das so, dass man aus den 20000 Kommunen eine Kommune zufällig herausgreift und dann annimmt, dass deren Einwohnerzahl $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ einer Lognormalverteilung $\begin{eqnarray*} \mathcal{LN}(\mu,\sigma^2) \end{eqnarray*}$ unterliegt.

Aus den restlichen Angaben der Aufgabenstellung kann man nun die beiden Bedingungen

$\begin{eqnarray*} E(X) = \frac{100\,000\,000}{20\,000} = 5\,000 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} P(X<10\,000) = 0.6 \end{eqnarray*}$

ablesen. Die Lognormalverteilungs-Formeln angewandt hat man damit zwei Gleichungen für die beiden Parameter $\begin{eqnarray*} \mu,\sigma \end{eqnarray*}$ und kann diese somit als Lösung dieses Gleichungssystems ermitteln. Mit diesen Werten kann dann auch $\begin{eqnarray*} P(X>100\,000) \end{eqnarray*}$ ermittelt werden.

EDIT: Bist du dir sicher, dass alle von dir gemachten Zahlenangaben richtig sind? Kein Verschreiber, nirgendwo? verwirrt

06.06.2012, 10:44

MacGyver1

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Ah, ok. Dann setze ich also

5000 = e^(µ+(sigma²/2))

und

o,6 = 1/(sqrt(2*pi)*sigma*5000)*e^(-(ln*5000-µ)²/2*sigma²),

richtig?

06.06.2012, 11:32

HAL 9000

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Zitat:

Original von MacGyver1
5000 = e^(µ+(sigma²/2))

So hatte ich mir das gedacht, ja. Freude

Zitat:

Original von MacGyver1
o,6 = 1/(sqrt(2*pi)*sigma*5000)*e^(-(ln*5000-µ)²/2*sigma²),

Hier verwechselst du wohl Dichte mit Verteilungsfunktion: Die Bedingung lautet

$\begin{eqnarray*} \Phi\left( \frac{\ln(10\,000)-\mu}{\sigma} \right) = 0.6 \end{eqnarray*}$

mit Verteilungsfunktion $\begin{eqnarray*} \Phi \end{eqnarray*}$ der Standardnormalverteilung. Darauf $\begin{eqnarray*} \Phi^{-1} \end{eqnarray*}$ angewandt, wobei man die Normalverteilungsquantile wie üblich $\begin{eqnarray*} z_{\alpha} \end{eqnarray*}$ nennt, erhält man daraus

$\begin{eqnarray*} \frac{\ln(10\,000)-\mu}{\sigma} = z_{0.6} \end{eqnarray*}$ .

Jetzt gibt es allerdings ein schwerwiegendes Problem: Dieses Gleichungssystem besitzt keine reellen Lösungen, daher auch meine obige Nachfrage, ob du dich auch wirklich nirgendwo verschrieben hast? verwirrt

Falls nicht, dann ist vielleicht nicht dieses $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ , sondern eine andere Größe lognormalverteilt - deine Formulierung oben ist ja sehr weit interpretierbar: Z.B. könnte man sich statt der Kommune einen beliebigen Einwohner Deutschlands zufällig herausgreifen und mit $\begin{eqnarray*} Y \end{eqnarray*}$ die Einwohnerzahl seiner Stadt bezeichen, und die (statt $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ ) soll dann lognormalverteilt sein - nur so eine Idee, ich brainstorme gerade... Augenzwinkern

06.06.2012, 19:05

HAL 9000

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Hier jetzt die Aufgabestellung mit den richtigen Zahlen, die mir MacGyver1 aus rätselhaften Gründen nur per PN mitteilte, statt sie (wie es sich eigentlich gehört) hier im Thread richtigzustellen:

Zitat:

Original von MacGyver1
Die Einwohnerzahl von Gemeinden in Deutschland ist in etwa log-normalverteilt. Es leben 81,859 Millionen Menschen in 12316 Gemeinden. Von diesen haben 76,6% weniger als 5000 Einwohner.3 Schätzen Sie mit diesen Informationen die Anzahl der Großstädte (mehr als 100 000 Einwohner).

Und mit diesen Werten wird die Sache dann auch lösbar.

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