Kettenregel für partielle Ableitung

06.06.2012, 12:10	Kiwiatmb	Auf diesen Beitrag antworten »
Kettenregel für partielle Ableitung Zur Zeit läuft's irgendwie nicht so richtig... Folgende Aufgabe: $\begin{eqnarray} f: (0,\infty) \times \mathbb{R} \times \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} ^3, f(r, \varphi, z) = (r cos(\varphi), r sin(\varphi), z) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \text{Für } g: \mathbb{R} ^3 \rightarrow \mathbb{R} \text{ differenzierbar sei } \tilde{f} = g \circ f \text{ . Berechnen Sie } \nabla \tilde{f} \text{ mit Hilfe von Ableitungen von g.} \end{eqnarray}$ Bei uns wurde der Gradient folgendermaßen definiert: $\begin{eqnarray} <br /> \text{Sei } U \subseteq \mathbb{R} ^n \text{ offen und } f: U \rightarrow \mathbb{R} \text{ partiell differenzierbar.} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \text{Dann gilt: } \nabla f(x) = (\partial _{x_1} f(x), ..., \partial _{x_n} f(x)) \in \mathbb{R} ^n \end{eqnarray}$ So. Also müsste doch: $\begin{eqnarray} \nabla (g \circ f) = (\partial _{r} g(f(x)), \partial _{\varphi} g(f(x)), \partial _{z} g(f(x)) \end{eqnarray}$ Hier schon das erste Problem: Müssen das wikrlich die partiellen Ableitungen nach r,phi und z sein oder doch eher die nach x_1,x_2,x_3 aus g(x_1,x_2,x_3) ? Tendiere ja eher zu letzterem, aber ich frage lieber nochmal. Hier muss ich nun die Kettenregel anwenden, die bei uns wie folgt definiert ist: $\begin{eqnarray} \text{Seien } U \subseteq \mathbb{R} ^n, V \subseteq \mathbb{R} ^m \text{ offen, } n,m,k \in \mathbb{N} \text{ sowie } f: U \rightarrow \mathbb{R} ^m , g: V \rightarrow \mathbb{R} ^k \text{ mit } f(U) \subseteq V \text{ .} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \text{Außerdem sei f in x0 aus U und g in y0 = f(x0) partiell differenzierbar.} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \text{Dann ist } g \circ f : U \rightarrow \mathbb{R} ^k \text{ partiell differenzierbar in x0 und es gilt für i=1,...,k und j = 1,...,n : } \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \partial _{x_i} (g_i \circ f)(x_0) = \sum_{l=1}^m(\partial _{y_l} g_i)(f(x_0)) \partial _{x_j} f_l(x_0) \end{eqnarray}$ Mein Problem: Ich komme bei den ganzen Indizes, 4 verschiedenen Mengen und 2 Funktionen ständig durcheinander. Auch geordnetes hinschreiben von m,n,k hat nicht wirklich weiter geholfen, da ich mich dann wieder fragen muss, was ich genau betrachte wenn z.B. g_i dasteht oder plötzlich die Ableitung bzgl einem (eigentlich nicht wirklich definierten) y_l. Ich habe schon die Jacobi-Matrix, d.h. die partiellen Ableitungen von g berechnet. Ist im Prinzip ja nur anwenden von dem was schon dasteht, aber es scheitert schon am richtigen Aufschreiben des Ansatzes. Vielleicht würde mir auch ein etwas einfacheres und konkreteres Beispiel helfen. Allerdings habe ich keins gefunden. Ich hoffe, ihr könnt mir hier ein wenig auf die Sprünge helfen. Dankeschön! Grüße, ~
07.06.2012, 13:13	Kiwiatmb	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich schieb' das hier nochmal hoch, vielleicht nimmt sich ja doch noch jemand die Zeit, mir zu helfen. Wäre sehr schön, ich bekomm' nämlich langsam Aggressionen von dem Zeug.
07.06.2012, 18:14	Kiwiatmb	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich erlaube mir mal, das noch ein letztes Mal zu schieben, da ich schon wieder hilflos auf der zweiten Seite dümple. Das kann im Prinzip nicht so schwer sein. Mir wäre ja schon geholfen, wenn jemand $\begin{eqnarray} \partial _{r} g(f(x)) \end{eqnarray}$ mal exemplarisch zeigen könnte. Mein Versuch sieht bisher so aus: $\begin{eqnarray} \partial _{r} g(f(x)) = (\partial_{r} g)(f(x)) \cdot \partial_{r} f(x) \end{eqnarray}$ Aber das kann ja irgendwie nicht sein, da ich g nicht nach r ableiten kann. Kommt ja nichtmal in der Funktion vor, also kann das nicht stimmen. Hoffe das Inputhäppchen motiviert jemanden zum Output.
07.06.2012, 22:08	Kiwiatmb	Auf diesen Beitrag antworten »
Ok, habe es jetzt nach einer ziemlichen Schinderei rausbekommen. Bin mir recht sicher, dass das so passt, daher geb' ich die sinngemäße Lösung aus Vollständigkeitsgründen an. $\begin{eqnarray} \nabla\tilde{f}=\begin{pmatrix} f_1 ' \cdot cos~\varphi_0 + f_2 ' \cdot sin~\varphi_0 \\ f_1 ' \cdot r_0~sin~\varphi_0+f_2 ' \cdot r_0~cos~\varphi_0 \\ f_3 '\end{pmatrix} \text{mit }f_i '=\frac{\partial f}{\partial i}(g(r_0,\varphi_0,z_0)) \end{eqnarray}$ Ich erwarte keine weitere Antwort. Ob das stimmt oder nicht (und warum) werde ich sehen, wenn ich die Korrektur bekomme. Danke trotzdem an alle, die sich vielleicht Gedanken gemacht haben, aber nichts beitragen konnten. Wenn es so jemanden nicht gab, dann eben kein Danke.

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