Addition |
| 06.06.2012, 15:22 | ad$di | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
| Addition Wie beweist man eigentlich 1 + 1 = 2 ? Meine Ideen: man müsste wissen, wie die Zahlen definiert sind und was "+" bedeutet |
||||||
| 06.06.2012, 15:25 | xenophil | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Such mal nach "Axiom" oder "Körper" im Bezug auf Mathematik. "Beweisen" kann man das, glaube ich, gar nicht, denn Addition und Multiplikation sind, innerhalb eines Körpers, "einfach da". Man möge mich korrigieren, wenn ich falsch liege. |
||||||
| 06.06.2012, 15:27 | ad$di | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
wo soll ich das suchen? hab davon in der Schule noch nie was gehört |
||||||
| 06.06.2012, 15:29 | xenophil | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Ich empfehle ein einigermaßen gutes Mathebuch. Alternativ spuckt Wikipedia aber auch gute Ergebnisse aus: http://de.wikipedia.org/wiki/K%C3%B6rper_%28Algebra%29 http://de.wikipedia.org/wiki/Axiom |
||||||
| 06.06.2012, 15:32 | Captain Kirk | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Der Threadersteller meint garantiert 1+1=2 in den natürlichen Zahlen. xenophil hat insofern recht als dass man das nicht wirklich beweisen kann. 2 ist definiert als der Nachfolger von 1. Der nachfolger einer zahl n kann definiert werden als n+1. Also 2 ist definiert als 1+1 Such Mal nach Peano-Axiomen. @xenophil: Es gibt Körper mit mit 1+1=0. Da gibt's ein '2' eigentlich nicht. |
||||||
| 06.06.2012, 15:33 | ad$di | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
hmm, schwierig könntest du mir bitte anstatt dessen erklären warum 1/2 + 1/2 = 2/2 ist oder 1/3 + 1/4 = ... ? |
||||||
| Anzeige | ||||||
|
|
||||||
| 06.06.2012, 15:35 | Iorek | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Aber man kann es ja mal versuchen... 
Principia Mathematica, ein grandios gescheiterter Versuch, die gesamte Mathematik zu axiomatisieren inklusive dem Beweis, dass 1+1=2 ist. |
||||||
| 06.06.2012, 15:36 | Dopap | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
ich hab mal gelesen, dass das in einer reinen Logikreduktion auf 362 Seiten bewiesen wurde! Das waren die Herren Russel und Whitehead. Principia Mathematica Cambridge university press 1910. Ich kann nicht mal die erste halbe Seite lesen, geschweige denn verstehen. 
|
||||||
| 06.06.2012, 15:41 | ad$di | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
naja dann frag ich lieber nicht weiter |
||||||
| 06.06.2012, 16:36 | Huggy | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Nur nicht abschrecken lassen. Natürlich kann man das beweisen. Wenn man auf eine vollständie Formalisierung verzichtet, geht es sogar sehr einfach. Wie es geht, hängt von dem benutzten Axiomensystem ab. Beschränkt man sich auf die natürlichen Zahlen, kann man als Axiomensystem die Peano-Axiome benutzen. Diese charakterisieren die natürlichen Zahlen zunächst hinsichtlich ihrer Anordnung. (P1) 1 ist eine natürliche Zahl. (P2) Jede natürliche Zahl n hat (mindestens) einen Nachfolger n'. (P3) 1 ist nicht Nachfolger einer natürlichen Zahl. (P4) Wenn für natürliche Zahlen n und m gilt n' = m', dann ist n = m. (P5) Wenn eine Aussage für 1 gilt und wenn, falls sie für eine natürliche Zahl n gilt, sie auch für n' gilt, dann gilt sie für alle natürliche Zahlen. P2 und P4 könnte man auch zusammenfassen als: Jede natürliche Zahl hat genau einen Nachfolger. Da also die Nachfolger natürlicher Zahlen eindeutig bestimmt sind, kann man ihnen Namen geben: (N1) 1' = 2 (N2) 2' = 3 (N3) 3' = 4 usw. Rechnen kann man bisher noch nicht mit den natürlichen Zahlen. Dazu müssen erst die Rechenoperationen definiert werden. Die Addition wird definiert mittels: (A1) n + 1 = n' für jede natürliche Zahl n (A2) n + m' = (n + m)' für alle natürlichen Zahlen n und m Schon kann man 1 + 1 = 2 beweisen. Nach A1 gilt für n = 1: 1 + 1 = 1'. Und wegen N1 hat man dann 1 + 1 = 2. Unter fleißiger Benutzung des Induktionsaxioms P5 kann man zeigen, dass für alle natürlichen Zahlen a, b, c gilt: a + b = b + a (a + b) + c = a + (b + c) Nach Definition der Multiplikation kann man dann alle elementaren Rechengesetze für natürliche Zahlen beweisen. |
||||||
| 12.06.2012, 12:11 | ad$di | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Hallo Huggy, danke für deine erläuterungen. Für mich sieht das jetzt so aus: 2 ist per definition der Nachfolger von 1 und 1+1 ist per definition der nachfolger von 1, also muss 1+1=2 sein. Das reicht mir dann auch - vielen danke! Was da vorher aber geschrieben war: 1+1=0 wäre einfach eine andere defintion, richtig? neue Frage: Warum ist eigentlich 1*1=1 (auch so definiert, ja?) Könnte man statt dessen zum Beispiel haben: 1*1=3 und 1+1=2 ? Gibt es da auch beweise welche definitonen funktionieren und welche nicht? |
||||||
| 12.06.2012, 13:11 | Huggy | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Ja.
Definieren kann man alles mögliche, solange man sich nicht in Widersprüche verwickelt. Aber üblicherweise hat man bei einer Definition oder einem Axiom schon eine präzise Vorstellung von der Struktur, die man dadurch beschreiben will. Und dann muss die Definition mit dieser Vorstellung in Einklang stehen. Und bei der Multiplikation der natürlichen Zahlen hat man die Vorstellung einer wiederholten Addition, die man beschreiben möchte. Dazu passt die Definition 1*1 = 3 nicht. |
||||||
|
|
Verwandte Themen
| Die Beliebtesten » |
|
| Die Größten » |
|
| Die Neuesten » |
|
