beziehung untergruppen faktorgruppen |
| 06.06.2012, 13:52 | goe.alexander | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| beziehung untergruppen faktorgruppen ich versuche gerade folgenden Zusammenhang zu vestehen: Ist (G,*) eine Gruppe und N einen Normalteiler von G, dann sind die beiden Abbildungen bijjektiv: Die erste Abbildung, bildet von der Menge aller Untergruppen von G die N (Normalteiler) enthalten, ab, auf die Menge der entsprechenden Restklassen welche dann eine Untergruppe der Faktorgruppe von U in N sind. Kann ich mir das jetzt so vorstellen, das ich mir aus einer Gruppe eine Untergruppe herrausnehmen kann welche, jetztmal ganz speziell selbst kein Normalteiler ist sondern lediglich einen Normalteiler enthält und dann "einfach" U auf die Faktorgruppe von U in N abbilden? Normalerweise versuche ich mir solche sachen immer anhand von Z modulo n vorzustellen. Also bei der zweiten Abbildung z.B. ist mZ ein Normalteiler von (Z,+) und für n<m ist nZ in mZ enthalten. Doch wieso sind diese Abbildung jetzt bijektiv also sagen wir mal ich habe als U z.B. 6Z was eine Untergruppe von (Z,+) ist und 3Z was auch eine Untergruppe und ein Normalteiler von (Z,+) ist. Wie würden dafür denn jetzt die Abbildung aussehen? Ich freue mich über jede Hilfe, mfg Alex |
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| 06.06.2012, 16:40 | Elvis | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Das Vorstellungsbeispiel halte ich für unglücklich gewählt, weil in der abelschen unendlichen Gruppe Z nur abelsche unendliche Gruppen mZ liegen, also sowieso nur Normalteiler enthalten sind, und die sind auch noch unendlich groß. Geht's denn nicht "eine Nummer kleiner" ? Vorschlag: Beschäftige dich lieber etwas länger mit den Definitionen Gruppe, Untergruppe, Normalteiler, Homomorphismus, Kern und mit Homomorphiesatz und den beiden Isomorphiesätzen. Dann lernst du das alles fein auswendig und machst anschließend 10000 Beispiele. (Das 983. dürfte schon recht leicht fallen. 
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| 06.06.2012, 16:46 | Mystic | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
RE: beziehung untergruppen faktorgruppen
Ich hab da so meine Schwierigkeiten mit diesem Satz... Du behauptest also, die Menge der geraden Zahlen (n=2) ist in der Menge der durch 3 teilbaren Zahlen (m=3) enthalten? 
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| 07.06.2012, 11:17 | goe.alexander | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
hallo zurück: auf den rat von Elvis hin habe ich mir die isomorphiesätze (hier speziell den zweiten) mal angeschaut und mir folgendes beispiel überlegt: der zweite isomorphiesatz sagt: ist G eine Gruppe und U < G, Untergruppe von G sowie N ist ein Normalteiler von G gilt: U/U geschnitten N ist isomorph zu UN/N ist nun G = (Z,+) U=2Z und N=7Z Für die Schnittmenge von U und N sollte sich 14Z ergeben. UN ist doch soviel wie U+N also 2Z+7Z und das sollte wieder Z sein (hoffe ich doch^^) demnach ist also: 2Z/14Z isomorph zu Z/7Z also für mich würde das auch logisch klingen, da die elemente von 2Z/14Z gerade die form x + 14Z , x element 2Z haben und das sind gerade 0 + 14Z, 2 + 14Z, 4+ 14Z,..., 12 +14Z also genau 7 elemente und das sind genausviele wie in Z/7Z. ist das soweit richtig? |
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| 07.06.2012, 16:43 | Elvis | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ja, das passt schon. Meiner Vorstellung hilft das nicht weiter, denn Gruppen sind ganz verzwickte Gebilde. Da hilft nur noch ganz viel Theorie und die Beschäftigung mit knackigen Beispielen. |
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