Stetigkeit von mehrdiemnsionalen Fkt.

06.06.2012, 17:15

Master1991

Stetigkeit von mehrdiemnsionalen Fkt.

Hi,

habe mal wieder ein Problem. Und zwar habe ich folgende Aufgabe:

Untersuchen Sie folgende Funktionen bzgl. Stetigkeit;
geben Sie – soweit vorhanden – die Grenzwerte

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 0} (\lim_{y \to 0} f(x,y)) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \lim_{y \to 0} (\lim_{x \to 0} f(x,y)) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \lim_{(x,y) \to 0} f(x,y) \end{eqnarray*}$

an.

1. $\begin{eqnarray*} f(x,y) = \frac{2xy^2}{x^2+y^4} \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} (x,y) \neq 0 \end{eqnarray*}$ und 0 für $\begin{eqnarray*} (x,y) = 0 \end{eqnarray*}$

2. $\begin{eqnarray*} f(x,y) = \frac{x^3+3xy^2}{x^2+y^2} \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} (x,y) \neq 0 \end{eqnarray*}$ und 0 für $\begin{eqnarray*} (x,y) = 0 \end{eqnarray*}$

So das heißt doch nun das ich einmal von Rechts/Links danach von oben bzw unten den Grenzwert ermittel und wenn da was unterschiedliches Rauskommt ist es nicht stetig.

So jetzt stoß ich auf 2 Probleme:

Erstmal komm ich bei beiden Funktionen bei grenzwertbildung auf 0 egal ob erst x oder y gegen 0 läuft.
Und damit hab ich dann ja gar nichts bewiesen; dann lässt das doch nun vermuten die Funktionen sind stetig; Wie weis ich das nach?

Und zweite Frage: $\begin{eqnarray*} \lim_{(x,y) \to 0} f(x,y) \end{eqnarray*}$ Ich weiß wie man erst einen dann den anderen Grenzwert bildet, aber wie geht das Gleichzeitig?

EDIT// Wir haben Funktionssteigkeit über Folgenstetigkeit "gelernt" falls das benötigt wird^^

06.06.2012, 18:01

BanachraumK_5

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Zitat:

Und zweite Frage: $\begin{eqnarray*} \lim_{(x,y) \to 0} f(x,y) \end{eqnarray*}$ Ich weiß wie man erst einen dann den anderen Grenzwert bildet, aber wie geht das Gleichzeitig?

Definiere für $\begin{eqnarray*} n \in \mathbb{N} \end{eqnarray*}$ die Folge

$\begin{eqnarray*} z_n := (\frac{1}{n},\frac{1}{n}) \end{eqnarray*}$ und betrachte z.B. den Term

$\begin{eqnarray*} \lim_{n \rightarrow \infty} f(z_n) = \lim_{n \rightarrow \infty} f((1/n,1/n))),\ z_n \in \mathbb{R} \times \mathbb{R} \end{eqnarray*}$

Zitat:

Wie weis ich das nach?

Schreib dir doch mal die Definition vom Folgenkriterium für Stetigkeit auf. Was ist denn der genaue Definitionsbereich der Funktion f?

Wie habt ihr

Zitat:

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 0} (\lim_{y \to 0} f(x,y)) \end{eqnarray*}$

in der Vorlesung definiert?

06.06.2012, 18:07

juffo-wup

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RE: Stetigkeit von mehrdiemnsionalen Fkt.

Zitat:

Original von Master1991
So jetzt stoß ich auf 2 Probleme:

Erstmal komm ich bei beiden Funktionen bei grenzwertbildung auf 0 egal ob erst x oder y gegen 0 läuft.

Das ist schon mal richtig. Kein Problem.

Zitat:

Und damit hab ich dann ja gar nichts bewiesen;

Bezüglich der Stetigkeit nicht, stimmt.

Zitat:

dann lässt das doch nun vermuten die Funktionen sind stetig;

Das werden wir noch sehen.. Augenzwinkern

Zitat:

Und zweite Frage: $\begin{eqnarray*} \lim_{(x,y) \to 0} f(x,y) \end{eqnarray*}$ Ich weiß wie man erst einen dann den anderen Grenzwert bildet, aber wie geht das Gleichzeitig?
EDIT// Wir haben Funktionssteigkeit über Folgenstetigkeit "gelernt" falls das benötigt wird^^

Ja, wird es. Die Frage, ob f stetig im Nullpunkt ist, bedeutet: Wenn irgendwelche 2 Folgen $\begin{eqnarray*} x_k\to 0 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} y_k\to 0 \end{eqnarray*}$ für x,y eingesetzt werden, ist dann immer der Grenzwert von $\begin{eqnarray*} f(x_k,y_k) \end{eqnarray*}$ auch 0? Man hat also viel mehr Spielraum als wenn man nur einzeln und nacheinander $\begin{eqnarray*} x_k \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} y_k \end{eqnarray*}$ gegen 0 gehen lässt.
Speziell für a) würde ich dir empfehlen mal mit verschiedenen Möglichkeiten zu spielen, für $\begin{eqnarray*} x_k \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} y_k \end{eqnarray*}$ Folgen einzusetzen. z.B. $\begin{eqnarray*} y_k=cx_k \end{eqnarray*}$ für eine Nullfolge $\begin{eqnarray*} x_k \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} c\in\mathbb{R} \end{eqnarray*}$
Für b) fällt auf, dass der Zähler homogen vom Grad 3 in x,y ist, der Nenner aber nur vom Grad 2. Welche Vermutung würde das aufkommen lassen? Wie lässt sich das beweisen? (Schätze geeignet ab.)

06.06.2012, 20:09

Master1991

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Zitat:

Original von BanachraumK_5

Wie habt ihr

Zitat:

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 0} (\lim_{y \to 0} f(x,y)) \end{eqnarray*}$

in der Vorlesung definiert?

Wir "fixieren" den x-Wert und lassen zunächst y gegen den Grenzwert laufen und danach x. Wir nähern uns sozusagen aus einer Richtung (In diesem Fall y-Richtung) Dem Grenzwert an.
Wenn Wir das Ganze dann zuerst aus x Richtung und dann aus y Richtung machen und unterschiedliche Grenzwerte rauskommen haben wir ohne viel Rechnerei bewiesen das die Funktion in xo nicht stetig ist.

So auf die Aufgabe bezogen ich suche mir eine Folge z.B.:

$\begin{eqnarray*} a_k := (\frac{1}{k^2},\frac{1}{k}) \end{eqnarray*}$ Die Gegen x0 konvergiert und setze diese nun in f(x,y) ein.

Dann komm ich auf $\begin{eqnarray*} 2k^2 \end{eqnarray*}$ und das divergiert. Und das ist dann alles damit hab ich die unstetigkeit von Funktion a bewiesen?

mfG

Danke schonmal für eure Antworten smile

EDIT// Ist totaler Bloedsinn ... das Konvergiert auch gegen 0; also wieder nichts bewiesen. Ich meld mich gleich noch mal wenn ich ne Folge gefunden hab für die das nicht Gilt.

06.06.2012, 20:46

Master1991

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RE: Stetigkeit von mehrdiemnsionalen Fkt.

Zitat:

Original von juffo-wup

Speziell für a) würde ich dir empfehlen mal mit verschiedenen Möglichkeiten zu spielen, für $\begin{eqnarray*} x_k \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} y_k \end{eqnarray*}$ Folgen einzusetzen. z.B. $\begin{eqnarray*} y_k=cx_k \end{eqnarray*}$ für eine Nullfolge $\begin{eqnarray*} x_k \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} c\in\mathbb{R} \end{eqnarray*}$
Für b) fällt auf, dass der Zähler homogen vom Grad 3 in x,y ist, der Nenner aber nur vom Grad 2. Welche Vermutung würde das aufkommen lassen? Wie lässt sich das beweisen? (Schätze geeignet ab.)

Hmm...ich hab nochmal ein bisschen Probiert, allerdings:

-Weiß ich nicht genau wie du $\begin{eqnarray*} y_k = c*x_k \end{eqnarray*}$ meinst, dann muss ja entweder $\begin{eqnarray*} x_k \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} c = 0 \end{eqnarray*}$ sein damit die Folge überhaupt gegen 0 Konvergiert.

Naja jedenfalls habe ich keine Folge finden können die die Stetigkeit Aufheben würde. Seh ich da einfach keine oder ist die Funktion wirklich Stetig?

Wenn die Stetig sein sollte muss ich das aber auch noch beweisen und da hab ich dann entgültig keine Idee mehr.

Und zu b: Wieso ist der Zähler vom Grad 3? das eine ist doch $\begin{eqnarray*} y^3 \end{eqnarray*}$ das andere $\begin{eqnarray*} y^2 \end{eqnarray*}$ .

07.06.2012, 00:42

juffo-wup

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RE: Stetigkeit von mehrdiemnsionalen Fkt.

Zitat:

Original von Master1991
-Weiß ich nicht genau wie du $\begin{eqnarray*} y_k = c*x_k \end{eqnarray*}$ meinst, dann muss ja entweder $\begin{eqnarray*} x_k \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} c = 0 \end{eqnarray*}$ sein damit die Folge überhaupt gegen 0 Konvergiert.

Nein, es reicht doch offensichtlich, wenn $\begin{eqnarray*} x_k \end{eqnarray*}$ gegen 0 konvergiert. Also, wenn $\begin{eqnarray*} (x_k,y_k) \end{eqnarray*}$ die Folge ist, die du in $\begin{eqnarray*} f(x,y) \end{eqnarray*}$ einsetzten willst.

Zitat:

Und zu b: Wieso ist der Zähler vom Grad 3? das eine ist doch $\begin{eqnarray*} y^3 \end{eqnarray*}$ das andere $\begin{eqnarray*} y^2 \end{eqnarray*}$ .

Homogen vom Grad 3 heißt, dass die Summe der Grade in x,y bei allen Gliedern immer 3 ergibt. Naja, das ist auch nicht so wichtig, es war nur als Denkansatz gedacht. Beginne bei b) damit, im Zähler x auszuklammern.

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