Rangsummentest

06.06.2012, 18:31

Gast11022013

Rangsummentest

Meine Frage:
Mal eine Frage zum Wilcoxon-Zweistichproben-Rangsummentest.

Eine Stichprobe sei $\begin{eqnarray*} X_1,...,X_m \end{eqnarray*}$ , die zweite Stichprobe $\begin{eqnarray*} X_{m+1},...,X_{n} \end{eqnarray*}$ .

Wobei $\begin{eqnarray*} X_1,...,X_m,X_{m+1},...,X_n \end{eqnarray*}$ unabhängig seien und gemäß einer stetigen Verteilungsfunktion F bzw. G verteilt.

Die Teststatistik ist ja dann:

$\begin{eqnarray*} W=\sum_{i=1}^{N=m+n}i\cdot V_i \end{eqnarray*}$ , wobei $\begin{eqnarray*} V=(V_1,...,V_{N}) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} V_i=1 \end{eqnarray*}$ , falls die i-te Variable der kombinierten geordneten Stichprone zu $\begin{eqnarray*} X_{m+1},...,X_{n} \end{eqnarray*}$ gehört und $\begin{eqnarray*} V_i=0 \end{eqnarray*}$ , falls sie zu $\begin{eqnarray*} X_1,...,X_m \end{eqnarray*}$ gehört.

Kann man das auch andersherum machen? Also $\begin{eqnarray*} V_i=0 \end{eqnarray*}$ , falls die i-te Variable der kombinierten geordneten Stichprobe zu $\begin{eqnarray*} X_m,...,X_N \end{eqnarray*}$ gehört und $\begin{eqnarray*} V_i=1 \end{eqnarray*}$ falls sie zu $\begin{eqnarray*} X_1,...,X_m \end{eqnarray*}$ gehört?

Oder ist das nicht egal?

Ich habe mal für Beispiele beides ausprobiert und komme dann bezüglich des Tests einmal zu dem Ergebnis, die Nullhypothese abzulehnen und einmal, sie nicht abzulehnen... also kann es wohl nichr egal sein...

Meine Ideen:
...

07.06.2012, 15:04

Gast11022013

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RE: Rangsummentest
Hallo, vielleicht könnt ihr mir helfen, wenn ich eine konkrete Aufgabe stelle?

Also es waren für 22 preußische Jungen und für 22 preußische Mädchen, die in ihrem ersten Lebensjahr verstorben sind, die Tage angegeben, wie lange sie gelebt haben. Diese Daten habe ich zusammengetan und aufsteigend geordnet.

Mit $\begin{eqnarray*} X_1,\hdots,X_{22} \end{eqnarray*}$ habe ich die Daten der Jungen und mit $\begin{eqnarray*} X_{23},\hdots,X_{44} \end{eqnarray*}$ die Daten der Mädchen bezeichnet. Dabei soll gelten, daß die $\begin{eqnarray*} X_1,\hdots,X_{22} \end{eqnarray*}$ stetige Verteilungsfunktion $\begin{eqnarray*} F \end{eqnarray*}$ und die $\begin{eqnarray*} X_{23},\hdots,X_{44} \end{eqnarray*}$ stetige Verteilungsfunktion $\begin{eqnarray*} G \end{eqnarray*}$ haben. Außerdem sollen $\begin{eqnarray*} X_1,\hdots,X_{22},X_{23},\hdots,X_{44} \end{eqnarray*}$ unabhängig sein.

Was die $\begin{eqnarray*} Z_i \end{eqnarray*}$ betrifft, so habe ich $\begin{eqnarray*} Z_i=1 \end{eqnarray*}$ vergeben, wenn die Daten aus $\begin{eqnarray*} X_{23},\hdots,X_{44} \end{eqnarray*}$ stammen und $\begin{eqnarray*} Z_i=0 \end{eqnarray*}$ gesetzt, wenn die Daten aus $\begin{eqnarray*} X_1,\hdots,X_{22} \end{eqnarray*}$ stammen.

Zu beantworten ist die Frage, ob die männlichen Kinder zum Zeitpunkt ihres Todes jünger sind als die weiblichen Kinder. Verwendet werden soll der Wilcoxon-Zweistichproben-Rangtest zum Signifikanzniveau $\begin{eqnarray*} \alpha=0,05 \end{eqnarray*}$ .

Das Testproblem habe ich so verstanden:

$\begin{eqnarray*} H_0: F(z)=G(z) \end{eqnarray*}$ gegen $\begin{eqnarray*} H_1: G(z)=F(z-\theta)~\forall~z\in\mathbb{R},\theta<0 \end{eqnarray*}$

Das ist m.E. also ein rechtsseitiges Testproblem.

Ich habe also zunächst, wie gesagt, die Ausgangsdaten sortiert und, wie oben beschrieben, die $\begin{eqnarray*} Z_i \end{eqnarray*}$ zugeordnet, das ergibt:

$\begin{eqnarray*} \begin{tabular}{ccccccc} \textbf{Position} & \textbf{Daten} & $Z_i$ & & \textbf{Position} & \textbf{Daten} & $Z_i$\\ 1 & 95,85 & 0 & & 23 & 110,96 & 0\\ 2 & 96,37 & 0 & & 24 & 111,67 & 0\\ 3 & 96,39 & 0 & & 25 & 111,71 & 0\\ 4 & 98,00 & 0 & & 26 & 111,89 & 0\\ 5 & 98,15 & 0 & & 27 & 112,91 & 0\\ 6 & 98,15 & 0 & & 28 & 112,97 & 0\\ 7 & 98,58 & 0 & & 29 & 113,61 & 0\\ 8 & 98,86 & 0 & & 30 & 113,91 & 0\\ 9 & 100,04 & 0 & & 31 & 114,07 & 0\\ 10 & 100,53 & 0 & & 32 & 114,62 & 0\\ 11 & 101,78 & 1 & & 33 & 116,26 & 1\\ 12 & 101,79 & 0 & & 34 & 116,83 & 1\\ 13 & 102,54 & 1 & & 35 & 116,89 & 1\\ 14 & 103,09 & 1 & & 36 & 117,15 & 0\\ 15 & 103,80 & 1 & & 37 & 117,72 & 1\\ 16 & 104,07 & 1 & & 38 & 117,89 & 1\\ 17 & 104,16 & 1 & & 39 & 118,28 & 1\\ 18 & 104,17 & 1 & & 40 & 119,23 & 1\\ 19 & 104,72 & 1 & & 41 & 119,34 & 1\\ 20 & 106,26 & 1 & & 42 & 119,70 & 1\\ 21 & 108,91 & 1 & & 43 & 121,46 & 1\\ 22 & 109,05 & 1 & & 44 & 122,99 & 1\\ \end{tabular} \end{eqnarray*}$

Die Teststatistik ist auf dem Übungsblatt definiert als:

$\begin{eqnarray*} W=\sum_{i=m+1}^{N}R_i \end{eqnarray*}$ , wobei $\begin{eqnarray*} R_i \end{eqnarray*}$ die Ränge sind und bei dieser Aufgabe - würde ich meinen - sind $\begin{eqnarray*} m=n=22, N=m+n=44 \end{eqnarray*}$ , sodaß sich als Teststatistik ergibt:

$\begin{eqnarray*} W=\sum_{i=23}^{44}R_i=\sum_{i=1}^{44}i\cdot Z_i \end{eqnarray*}$ .

Mit den Daten komme ich auf $\begin{eqnarray*} W=612 \end{eqnarray*}$ .

Was nun den kritischen Wert $\begin{eqnarray*} w_{1-\alpha} \end{eqnarray*}$ betrifft, so habe ich $\begin{eqnarray*} w_{\alpha} \end{eqnarray*}$ in einer Tabelle für das linksseitige Testproblem abgelesen (424) und gelesen, daß man dann für das rechtsseitige Testproblem rechnet:

$\begin{eqnarray*} w_{1-\alpha}=2E(W)-w_{\alpha} \end{eqnarray*}$ .

Hier ist $\begin{eqnarray*} 2E(W)=990 \end{eqnarray*}$ , sodaß ich letztlich für den kritischen Wert bei diesem Test auf $\begin{eqnarray*} 990-424=566 \end{eqnarray*}$ komme.

Da $\begin{eqnarray*} W=612>566 \end{eqnarray*}$ wäre die Nullhypothese hier zugunsten der Alternative abzulehnen.

Wenn ich jedoch die $\begin{eqnarray*} Z_i \end{eqnarray*}$ genau andersherum zuweise, also $\begin{eqnarray*} Z_i=1 \end{eqnarray*}$ , wenn die Daten aus $\begin{eqnarray*} X_{1},\hdots,X_{22} \end{eqnarray*}$ stammen und $\begin{eqnarray*} Z_i=0 \end{eqnarray*}$ , wenn die Daten aus $\begin{eqnarray*} X_{23},\hdots,X_{44} \end{eqnarray*}$ stammen, so komme ich auf

$\begin{eqnarray*} W=378 \end{eqnarray*}$ und da dies kleiner als der kritische Wert 566 ist, wäre in diesem Fall die Nullhypothese NICHT abzulehnen.

Welche Zuordnung der $\begin{eqnarray*} Z_i \end{eqnarray*}$ soll man nun nehmen?

Ich würde mich sehr über eine Reaktion von Euch freuen.
Vielen Dank für das Durchlesen dieses langen Textes!

Viele Grüße!

08.06.2012, 11:27

Huggy

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RE: Rangsummentest

Zitat:

Original von Dennis2010
Welche Zuordnung der $\begin{eqnarray*} Z_i \end{eqnarray*}$ soll man nun nehmen?

Diese Frage ist so schwierig, dass ich mir nicht vorstellen kann, dass es darauf eine eindeutige Antwort gibt. unglücklich

Ich stelle mal 2 Möglichkeiten zur Auswahl:

(1) Mit Statistik kann man bekanntlich alles beweisen. Wähle die Variante, die dein Wunschergebnis bringt.

(2) Wenn man die Rollen von Mädchen und Jungen vertauscht, wird aus dem rechtsseitigen Test ein linksseitiger Test. Wenn der rechtsseitige Test bei W > 566 zur Ablehnung führt, führt der linksseitige Test bei W' < 424 zur Ablehnung.

08.06.2012, 11:34

Gast11022013

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Hallo, Huggy!

Also irgendwie verstehe ich das immer noch nicht so ganz.

Zum Beispiel bei Büning/ Trenkler wird so verfahren, daß man $\begin{eqnarray*} Z_i=1 \end{eqnarray*}$ setzt, wenn die Daten aus $\begin{eqnarray*} X_1,\hdots,X_{m} \end{eqnarray*}$ stammen. Wir scheinen das genau andersherum gemacht zu haben, zumindest verstehe ich $\begin{eqnarray*} W=\sum_{i=m+1}^{N}R_i \end{eqnarray*}$ so.

Das kann doch nicht der Willkür unterliegen, wie man das macht...

Schaut man bei beiden Vorgehensweisen denn in der selben Tabellierung nach?

Edit: Was meinst Du mit W'?

08.06.2012, 11:47

Huggy

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War denn meine Antwort nicht klar genug?
Das gehört schon nicht mehr in die Mathematik, sondern in die Rubrik gesunder Menschenverstand.

Man berechnet entweder die Rangsumme der Mädchen oder die der Jungen. Da kann man frei wählen. Aber wenn die eine zu hoch ist, ist die andere zwangsläufig zu niedrig. Die Rangsummen ergänzen sich doch zu 990. Man erhält in beiden Fällen Ablehnung oder in beiden Fällen Nichtablehnung.

Und weitere Antworten dazu gebe ich nicht. Du kennst mich. Das würde nur zu schrecklich ausfallenden Bemerkungen meinerseits führen.

08.06.2012, 11:52

Gast11022013

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Der Groschen ist nun gefallen.

Danke Dir.

Und schrecklich ausfallende Bemerkungen möchte natürlich niemand. Big Laugh

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