Beweis: Torus ist 2dim Untermanigfaltigkeit vom IR^3

06.06.2012, 18:40	steviehawk	Auf diesen Beitrag antworten »
Beweis: Torus ist 2dim Untermanigfaltigkeit vom IR^3 Meine Frage: Hallo Leute, ich soll zeigen, dass der Torus eine 2dim UM des $\begin{eqnarray} \mathbb R^3 \end{eqnarray}$ beschreibt. Ich soll dies über den Satz des regulären Wertes machen. Ich habe nun erstmal Versucht, den Torus als Nullstellenmenge zu beschreiben. Also für festes aber zunächst mal beliebiges c und a beschreibt: $\begin{eqnarray} (c - \sqrt{x^2+y^2})^2 + z^2 - a^2 = 0 \end{eqnarray}$ einen Torus. c und a sind die Radien. Ich betrachte dann die Menge: $\begin{eqnarray} M = \left\{ (x,y,z) \in \mathbb R^3 \| f(x,y,z) = 0 \right\} \end{eqnarray}$ wobei $\begin{eqnarray} f(x,y,z) = (c - \sqrt{x^2+y^2})^2 + z^2 - a^2 \end{eqnarray}$ Um nun den Satz des regulären Wertes anwenden zu können, muss ich doch zeigen, dass 0 ein regulärer Wert von f ist. Dann würde ja direkt folgen, dass M eine UM der Dimension 2 ist. dass nun aber 0 ein regulärer Wert ist, muss die Urbildmenge von 0 also: $\begin{eqnarray} f^{-1}(0) = \left\{ (x,y,z) \in \mathbb R^3 \| f(x,y,z) = 0 \right\} \end{eqnarray}$ nur als regulären Punkten bestehen, was wiederum heißt, dass für alle (x,y,z) mit f(x,y,z) = 0 die Jacobimatrix vollen Rang hat (im allg. Rang m; hier Rang 1) die Jacobi - Matrix ist hier ja gerade der Gradient von f, also: $\begin{eqnarray} J_f = \begin{pmatrix} \frac{-2x (c - \sqrt{x^2+y^2} }{\sqrt{x^2+y^2} } \\ \frac{-2y (c - \sqrt{x^2+y^2} }{\sqrt{x^2+y^2} } \\ 2z \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ die hat doch Rang = 1, denn (x,y,z) = (0,0,0) liegt ja nicht in M drin! So dann ist also 0 ein regulärer Wert und aus dem Satz vom regulären Wert folgt, dass M eine UM ist. Meine Ideen: So nun, würde mich interessieren ob ich so an die Sachen rangehen kann oder ob die Ideen eher falsch sind??? Und wie man ansonsten rangehen könnte.. In der Aufgabenstellung steht eben, dass man es mit Teilaufgabe b lösen soll und dort mussten man nur den Satz vom regulären Wert anwenden, denn 0 war bereits als regulärer Wert gegeben. Siehe hier: Aufgabenteil b) Danke!!!
08.06.2012, 17:55	steviehawk	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Beweis: Torus ist 2dim Untermanigfaltigkeit vom IR^3 Kann da vielleicht jemand schauen ob das so grob stimmt??? Bin mir noch unsicher auf dem Gebiet! Danke

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