Umformungsproblem

06.06.2012, 19:55

Umformungsproblem

Meine Frage:
Hi all,

es gibt eine Stelle an der ich die Umformung nicht verstehe.

Aufgabestellung:

[attach]24833[/attach]

n ist gesucht.

Loesung dazu:

[attach]24832[/attach]

Tippfehler in den ersten Umformungsschritt ich weiss. Es muesste so sein

$\begin{eqnarray*} x_{i} ^{2} - 2 x_{i} \vec{x} + \vec{x} ^{2} \end{eqnarray*}$

und nicht

$\begin{eqnarray*} x_{i} ^{2} + 2 x_{i} \vec{x} + \vec{x} ^{2} \end{eqnarray*}$

( $\begin{eqnarray*} \vec{x} \end{eqnarray*}$ - das hier soll nicht Vector heissen, sondern x strich sein. Ich kann nur keine x strich in dem Formeleditor finden)

Nun meine Frage, wie komme ich von Schritt 2 auf 3?

Meine Ideen:
Ich weiss, dass den ersten Term durch

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{i=1}^n x^{2} = 10800 \end{eqnarray*}$

ersetzt worden ist, aber wie man die anderen beiden Terme so umformt, sodass man das hier erhaelt:

$\begin{eqnarray*} -2\vec{x} ^{n} + \vec{x} ^{n} \end{eqnarray*}$

habe ich absolut keine Ahnung. Fuer den ersten Ansatz bzw. Gedankenstoss bin ich euch sehr dankbar.

06.06.2012, 20:13

klauss

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RE: Umformungsproblem
Es geht also um die 3. Zeile in der Lösungsgrafik:

Es gilt:

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{n} \sum\limits_{k=1}^n 2xi\vec{x} = 2 \vec{x} \frac{1}{n} \sum\limits_{k=1}^n xi \end{eqnarray*}$

und

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{n} \sum\limits_{k=1}^n \vec{x} ^{2} =\frac{1}{n} *n*\vec{x} ^{2} \end{eqnarray*}$

06.06.2012, 20:59

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RE: Umformungsproblem
Hi Klauss,

deine k = 1 hat mich zunaechst erstmal etwas verwirrt, aber ich gehe davon aus, dass du i = i meinst oder? smile

Darueber hinaus, komme ich mit deinem Ansatz leider nicht weiter:

Zitat:

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{n} \sum\limits_{k=1}^n 2xi\vec{x} = 2 \vec{x} \frac{1}{n} \sum\limits_{k=1}^n xi \end{eqnarray*}$

Du hast hier also $\begin{eqnarray*} 2\vec{x} \end{eqnarray*}$ nach vorne gezoggen, da die Variablen nicht mit i zu tun hat. Einverstanden! Wie allerdings forme ich es weiter so um, sodass ich $\begin{eqnarray*} -2\vec{x} ^{2} \end{eqnarray*}$ erhalte? Ich kann hier ja hoechsten noch den Ausdruck

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{i=1}^n x_{i} = 180 \end{eqnarray*}$

setzen, sodass ich das hier

$\begin{eqnarray*} \frac{(2*180)\vec{x} }{n} \end{eqnarray*}$

erhalte. Aber dies waere nicht das gleiche Ergebnis wie in der Loesung.

Des Weiteren:

Zitat:

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{n} \sum\limits_{k=1}^n \vec{x} ^{2} =\frac{1}{n} *n*\vec{x} ^{2} \end{eqnarray*}$

Wie bist du darauf gekommen? Gibt es etwa fuer den Ausdruck

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{n} \sum\limits_{k=1}^n \vec{x} ^{2} \end{eqnarray*}$

eine Formel die dann besagt dass

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{n} \sum\limits_{k=1}^n \vec{x} ^{2} =\frac{1}{n} *n*\vec{x} ^{2} \end{eqnarray*}$ ?

06.06.2012, 23:32

klauss

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RE: Umformungsproblem
Tschuldigung, auf das i/k hab ich gar nicht geachtet, weil das k in LATEX voreingestellt ist, das muß hier natürlich i sein.
Also:
$\begin{eqnarray*} \frac{1}{n}\sum\limits_{i=1}^n xi \end{eqnarray*}$
ist ja auch $\begin{eqnarray*} \vec{x} \end{eqnarray*}$

Und:
Da $\begin{eqnarray*} \vec{x} \end{eqnarray*}$ , wie Du richtig erkannt hast, nicht von i abhängt, könnte man auch schreiben

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{n} \sum\limits_{i=1}^n \vec{x} ^{2} = \frac{1}{n} \vec{x} ^{2} \sum\limits_{i=1}^n 1 \end{eqnarray*}$

Da auch die 1 nicht von i abhängt, ist der Summenwert also n * 1 = n.

07.06.2012, 14:42

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RE: Umformungsproblem

Zitat:

Original von klauss
$\begin{eqnarray*} \frac{1}{n}\sum\limits_{i=1}^n xi \end{eqnarray*}$
ist ja auch $\begin{eqnarray*} \vec{x} \end{eqnarray*}$

Total richtig Klauss! Das habe ich voellig uebersehen...

Kannst du mir noch einmal den Gefallen tun und die zweite Frage beantworten?

Gibt es etwa fuer den Ausdruck

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{n} \sum\limits_{k=1}^n \vec{x} ^{2} \end{eqnarray*}$

eine Formel die dann besagt dass

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{n} \sum\limits_{k=1}^n \vec{x} ^{2} =\frac{1}{n} *n*\vec{x} ^{2} \end{eqnarray*}$ ?

Bedanke mich schon einmal im Voraus fuer deine Hilfe.

11.06.2012, 11:08

klauss

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RE: Umformungsproblem
Gern. Die Antwort auf die 2. Frage war bereits der 2. Teil meines vorherigen Beitrags!

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Umformungsproblem

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