Frage zum Dachprodukt von 1-Formen

06.06.2012, 23:36	Hamsterchen	Auf diesen Beitrag antworten »
Frage zum Dachprodukt von 1-Formen Guten Abend alle zusammen, ich hab ne kleine Verständnisfrage zum Dachprodukt bzw. ich möchte gerne wissen, ob das, was ich mache, stimmt ^^ Also wir haben gegeben: $\begin{eqnarray} \alpha=dx_1\wedge dx_3-2dx_1\wedge dx_2+4dx_2\wedge dx_3 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \beta=-dx_1+2dx_2+dx_3 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \gamma=-2dx_2+dx_3 \end{eqnarray}$ Dazu sollen wir jetzt $\begin{eqnarray} \alpha\wedge\beta\wedge\gamma \end{eqnarray}$ berechnen und dazu habe ich mir gedacht, dass ich zum Beispiel erst $\begin{eqnarray} \alpha\wedge\beta \end{eqnarray}$ ausrechne und dann noch das ergebnis mit $\begin{eqnarray} \gamma \end{eqnarray}$ dache. Jetzt kommt die erste Frage: Kann ich das so machen, dass ich im ersten Schritt schreibe: $\begin{eqnarray} -dx_1\wedge dx_3\wedge dx_1 \end{eqnarray}$ , also sozusagen "ausmultipliziere"? Und müsste das dann nicht 0 sein, weil ich kann die ja mit Vorzeichenwechsel permuttieren und dann steht da ja $\begin{eqnarray} dx_1 \end{eqnarray}$ nebeneinander und das ist ja 0, also ist es insgesamt 0? Ok falls das stimmt, dann habe ich da $\begin{eqnarray} -8dx_1\wedge dx_2\wedge dx_3 \end{eqnarray}$ raus, aber wenn ich das dann mit $\begin{eqnarray} \gamma \end{eqnarray}$ dachen will, dann kann da ja nur 0 rauskommen, weil ich ja jedes $\begin{eqnarray} dx \end{eqnarray}$ schon habe also wird es mit beiden teilen aus $\begin{eqnarray} \gamma \end{eqnarray}$ 0, oder wie muss man das machen??? Also wäre sehr lieb wenn jemand etwas Licht ins Dunkle bringen könnte =) LG Hamsterchen
07.06.2012, 01:12	tmo	Auf diesen Beitrag antworten »
Du hast hier das Dachprodukt von einer 2-Form mit 2 1-Formen. Insgesamt kommt also eine 4-Form raus. Aber wir haben es hier mit einem 3-dim. Vektorraum zu tun. Also kommt 0 raus. Ohne jegliches rechnen
07.06.2012, 22:11	Hamsterchen	Auf diesen Beitrag antworten »
Hi, vielen Dank für deine Antwort. Könntest du mir noch sagen, ob bei $\begin{eqnarray} \alpha\wedge\beta \end{eqnarray}$ wirklich $\begin{eqnarray} -8dx_1\wedge dx_2\wedge dx_3 \end{eqnarray}$ rauskommt oder habe ich das falsch gerechnet? Ich bin mir da wirklich nicht sicher ob ich das einfach so "ausmultiplizieren" kann. Und stimmt es, dass wenn ich beim "ausmultiplizieren" sehe, dass 2 dx's gleich sind, dass ich die dann gleich weglassen kann weil dann sowieso 0 rauskommt? Also z.Bsp. $\begin{eqnarray} dx_1\wedge dx_2\wedge dx_1=0 \end{eqnarray}$ ? LG
07.06.2012, 23:39	tmo	Auf diesen Beitrag antworten »
Zu beidem ein Ja.
08.06.2012, 01:07	Hamsterchen	Auf diesen Beitrag antworten »
hi, das ist ja super =) vielen dank und gute nacht ^^ hamsterchen

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