Grenzwert nte Wurzel immer 1?

06.06.2012, 23:58	mathcohla	Auf diesen Beitrag antworten »
Grenzwert nte Wurzel immer 1? Meine Frage: Hi, mich würd mal intresserieren ob der Grenzwert der n-ten Wurzel von x immer gegen 1 konvergiert? Meine Ideen: zb.: $\begin{eqnarray} \lim_{n \to \infty } \sqrt{3n^{2}-4} = (3n^{2}-4)^{\frac{1}{n}} \end{eqnarray}$ der zähler geht gegen 0 also geht alles gegen 1. Kann ich das so pauschalisieren?. Als Gegenbeispiel würd mir ja die Fakultät einfallen unter der Wurzel, wobei die Fakultät "schneller" wächst als die Wurzel? Oder gibt es einen ganz anderen Weg den Grenzwert einer Wurzel herauszufinden Gruss
07.06.2012, 00:00	mathcohla	Auf diesen Beitrag antworten »
sry hab das "n" bei der Wurzel vergessen. Es geht also um die n-te Wurzel.
07.06.2012, 11:01	thk	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo mathcohla, $\begin{eqnarray} \sqrt[n]{n^x} =n^{\frac{x}{n}}=e^{ln(n)\cdot \frac{x}{n} } =exp\left(\frac{x\cdot ln(n)}{n} \right) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \frac{x\cdot ln(n)}{n} \end{eqnarray}$ geht gegen 0, damit die e-Funktion und die n-te Wurzel gegen 1. LG
07.06.2012, 11:15	mathcohla	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo thk, Vielen dank für deine Antwort! So wie ich das jetzt von deinem Beitrag lese stimmt also meine Vermutung oder? Also egal was ich in der nten Wurzel habe läuft diese gegen 1.(bis auf Fakultät) Stimmt das? Gruß
07.06.2012, 11:38	thk	Auf diesen Beitrag antworten »
Für konstante x ist der GW 1. Für n^n kommt z.B. n raus Also 'für beliebige' Radikanten kann es nicht gelten. LG
07.06.2012, 12:09	mathcohla	Auf diesen Beitrag antworten »
Für n^n als "radikand" ^^ wird geht doch nte-wurzel von n(n^n) gegen 1 oder? oO Gruss
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07.06.2012, 12:21	thk	Auf diesen Beitrag antworten »
Für n^n als Radikanden ist $\begin{eqnarray} \sqrt[n]{n^n}=n^{\frac{n}{n} } =n^1=n \end{eqnarray}$
07.06.2012, 12:33	mathcohla	Auf diesen Beitrag antworten »
sry war etwas unglücklich formuliert von mir , ich meine den lim n->unendlich nte-wurzel von n^n Gruss
07.06.2012, 12:37	thk	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja ich weiß. $\begin{eqnarray} \lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{n^n} <br /> =\lim_{n \to \infty} n^{\frac{n}{n} } <br /> =\lim_{n \to \infty} n =\infty \end{eqnarray}$ Wie kommst du auf GW 1?
07.06.2012, 16:40	mathcohla	Auf diesen Beitrag antworten »
Sry, hab gedacht gedacht da würde sqrt(n) stehen ^^. Ja Top danke für deine Hilfe thk!!
07.06.2012, 16:47	thk	Auf diesen Beitrag antworten »
gerne

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