Prüfungsaufgabe differentialrechnung

07.06.2012, 02:13

Saryyy

Prüfungsaufgabe differentialrechnung

Meine Frage:
Aufgabe

Funktion Kf y= 1/4x^4 + 1/2x^3 die gerade mit der gleichung x=u mit u < 0 und Funktion Kg y = e^x - 1 schliessen eine Fläche ein.
Für welche ganze Zahl u hat diese Fläche den Flächeninhalt 1\e^2 + 3/5 ???

Meine Ideen:
Leider kenne ich keine möglichen Ansätze

07.06.2012, 03:59

Kasen75

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Hallo,

ich würde erstmal den Schnittpunkt von Kf und Kg bestimmen. Damit hast du die erste Grenze deines Flächenintegrals. Ist der x-Wert des Schnittpunkts $\begin{eqnarray*} \geq 0 \end{eqnarray*}$ , dann ist er die obere Grenze, da u < 0 ist.

Dann kannst du schon die Integralfunktion aufstellen:

$\begin{eqnarray*} \int_a^b \! 1/4x^4 + 1/2x^3 - (e^x-1) \, dx = \int_a^b \! 1/4x^4 + 1/2x^3 - e^x+1 \, dx = \frac{1}{e^2} + 3/5 \end{eqnarray*}$

Wie gesagt, ob jetzt u gleich a oder b ist, kannst du erst entscheiden, wenn du den x-Wert des Schnittpunktes hast. Die eine Grenze ist ein konkreter Wert (x-Wert des Schnittpunktes). Die andere Grenze ist dann das u. Das wird dann zum Schluss bestimmt.
Und natürlich muss man noch integrieren.

Ich hoffe die Tipps helfen Dir schon einmal einen guten Schritt voran zu kommen. Bei Unklarheiten und/oder Zwischenergebnissen, bitte nachfragen.

Mit freundlichen Grüßen.

07.06.2012, 16:27

Saryyy

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Danke

Ich bin wie folgt vorgegangen

Bestimmung der Schnittpunkte von Kf und kg

GTr

(1,68/4,37); (0/0)

Ich habe dann itegriert

[ 1/20x^5+1/8x^4-e^x+1x]

Dann hab ich für b 1,68 eingesetzt und für a 0

Ich komme nicht auf das richtige Ergebnis, ich komme nicht weiter.... unglücklich

07.06.2012, 16:56

Kasen75

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Hallo,

nimm als obere Grenze 0. Und als untere Grenze u. Die x-Wert 1,68 bildet möglicherweise noch eine andere Fläche. Die ist aber nicht gefragt.

Auf jedenfall muss das u als untere Grenze eingesetzt werden.

Mit freundlichen Grüßen

07.06.2012, 17:29

Goldenpazifik

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Danke

1/20u^5 + 1\8u^4 - e^u + u = 1/e^2 + 3\5

Komme ab der Stelle nicht mehr weiter

Habe für u 2,59 raus denke dass das falsch ist unglücklich

07.06.2012, 17:42

Kasen75

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Wenn du Null einsetzt kommt ja nicht null heraus. Das musst du berücksichtigen. Von diesem Ergebnis ziehst du dann noch deinen Ausdruck ab.

$\begin{eqnarray*} \textrm{Ergebnis obere Grenze} - \textcolor{blue}{\Bigg( }\frac{1}{20} \cdot u^5 + \frac{1}{8} \cdot u^4 - e^u + u \textcolor{blue}{\Bigg) } = \frac{1}{e^2} + \frac{3}{5} \end{eqnarray*}$

Bitte beachte die blaue Klammer. Die Vorzeichen in der Klammer drehen sich um.

Mit freundlichen Grüßen

07.06.2012, 21:09

Goldenpazifik

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Für untere Grenze
Habe ich

1/20 u^2 + 1/8 u^4 + 1\e^2u

Ich komme immer auf das falsche Ergebnis

Ich komme nicht weiter wie berechne ich u aus??? traurig

07.06.2012, 21:11

Kasen75

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Was hast du denn für die obere Grenze (0) raus?

07.06.2012, 21:18

Goldenpazifik

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1/20 u^5 + 1/8 u^4 - e^u + u

07.06.2012, 21:20

Kasen75

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du setzt doch bei der oberen Grenze für x = 0 ein. u ist die untere Grenze.

Hier für x gleich Null einsetzen:

$\begin{eqnarray*} [ 1/20x^5+1/8x^4-e^x+1x] \end{eqnarray*}$

07.06.2012, 21:35

Goldenpazifik

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Habe null eingesetzt und es kommt 1 raus für die obere Grenze
Aber für die untere Grenze weiss ich nicht wie das berechnen soll
Um u zu berechnen Hilfe

07.06.2012, 21:46

Kasen75

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Fast richtig. Es kommt -1 heraus.

Es steht dann da:
$\begin{eqnarray*} -1 - \textcolor{blue}{\Bigg( }\frac{1}{20} \cdot u^5 + \frac{1}{8} \cdot u^4 - e^u + u \textcolor{blue}{\Bigg) } = e^{-2} + \frac{3}{5} \end{eqnarray*}$

Für die Lösung habe ich mir folgendes überlegt. Da u ganzzahlig sein soll ist der einzige Ausdruck der nicht rational ist $\begin{eqnarray*} e^u \end{eqnarray*}$ . Auf der rechten Seite ist es $\begin{eqnarray*} e^{-2}. \end{eqnarray*}$ Allein dadurch ist die Lösung schon klar. Und dann kann man es auch noch nachrechnen.

Mit freundlichen Grüßen.

07.06.2012, 22:18

Goldenpazifik

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Ich glaub ich es jetzt verstanden Wink

ich habe für u den wert -2 eingesetzt und bin auf 0,6 gekommen dass heisst in der Bruch schreibweise dann 3/5
Also ist u gleich -2

Was ich noch gerne gewusst hätte wieso muss ein minus vor der klammer der oberen Grenze stehen
Danke Blumen

07.06.2012, 22:26

Kasen75

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Zitat:

ich habe für u den wert -2 eingesetzt und bin auf 0,6 gekommen dass heisst in der Bruch schreibweise dann 3/5
Also ist u gleich -2

Perfekt!

Schön, dass wie dasselbe raus haben.

Ich weiß nicht hundertprozentig was du meinst. Könntest du das mal zitieren bzw. näher beschreiben was du meinst?

07.06.2012, 22:44

Goldenpazifik

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Zitat:

Original von Kasen75
Wenn du Null einsetzt kommt ja nicht null heraus. Das musst du berücksichtigen. Von diesem Ergebnis ziehst du dann noch deinen Ausdruck ab.

$\begin{eqnarray*} \textrm{Ergebnis obere Grenze} - \textcolor{blue}{\Bigg( }\frac{1}{20} \cdot u^5 + \frac{1}{8} \cdot u^4 - e^u + u \textcolor{blue}{\Bigg) } = \frac{1}{e^2} + \frac{3}{5} \end{eqnarray*}$

Bitte beachte die blaue Klammer. Die Vorzeichen in der Klammer drehen sich um.

Mit freundlichen Grüßen

Ich hätte gerne gewusst warum ein Minuszeichen vor der blauen Klammer steht.

Danke.

07.06.2012, 23:15

Kasen75

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Um die Fläche innerhalb der Grenzen zu bekommen berechnet man den Wert der oberen Grenze a und zieht den Wert der unteren Grenze ab. Dadurch hat man genau die Fläche zwischen a und b.

Hier bei der Aufgabe war die Fläche zwischen u (2) und 0 gesucht. Also haben wir die Fläche zwischen den Funktionen Kf und Kg berechnet, aber eben nur innerhalb der Grenzen.

Setzt man in die Flächenfunktion b ein dann wird die ganze Fläche von $\begin{eqnarray*} -\infty \end{eqnarray*}$ bis b berechnet (ganz automatisch). Um nur die Fläche innerhalb der Grenzen von a(=u=-2) und b(=0) zu berechnen zieht man noch die Fläche von $\begin{eqnarray*} -\infty \end{eqnarray*}$ bis a ab.

Um es sich besser vorstellen zu können, kannst du dir ja mal die Grafiken anschauen (hier).

Ich hoffe es klarer. Big Laugh

. Wenn nicht, bitte nachfragen.

Mit freundlichen Grüßen

08.06.2012, 00:48

Goldenpazifik

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Ich bitte um Korrektur beim integrieren

Bei -2sin(-Phi/2x) + x + Phi habe ich 4/phi cos(-Phi/2) + 1/2 x^2 + Phi

Und bei (Phi/2 + 1)x

Phi/2x + 1x

Phi/4x ^2

Danke smile

08.06.2012, 01:43

Kasen75

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Also,

die zweite Funktion ist ja:

$\begin{eqnarray*} g(x)=\frac{\phi}{2} \cdot x + x \end{eqnarray*}$

Dann ist

$\begin{eqnarray*} G(x)=\frac{\phi}{4} \cdot x^2 + \frac{1}{2} \cdot x^2+C \end{eqnarray*}$

Hast du den zweiten Teil vergessen?

Bei der ersten Funktion habe ich fast das gleiche raus:

$\begin{eqnarray*} F(x)= \textcolor{blue}{-}cos \Bigg(-\frac{\phi}{2}\cdot x \Bigg) \cdot \frac{4}{\phi}+\frac{1}{2}x^2 + \phi \cdot x \end{eqnarray*}$

Ich glaube du hast vernachlässigt, dass die innere Ableitung auch negativ ist; nicht nur die Ableitung der äußeren Kosinusfunktion.

Mit freundlichen Grüßen.

08.06.2012, 16:28

Saryyy

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Wie löse ich diese Aufgabe?

Das Schaubild von Kf mit 4e^-0,5x + 1,die y Achse, die parallele zur x Achse durch den Punkt s(0/1) und die gerade x=u mit u>0 schliessen eine Fläche ein.

Wie berechne ich den wert u für den Flächeninhalt 7??

Mit GTR Gemeinsame schnittpunkte gibt es keine, deshalb habe ich für die untere Grenze null genommen und für die obere u

Ansatz Integral f(x) - g(x) dx

Integriert, vereinfacht, ausgeklammert und in die x Werte eingesetzt habe ich folgendes raus

-8e^-0,5 u + 8e^-0,5*0 = 7

-8e^-0,5 u + 8 = 7

Ab dieses Stelle komme ich nicht weiter.... unglücklich

Gruß saryy

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