Gruppenuntersuchung

07.06.2012, 11:34	aigels	Auf diesen Beitrag antworten »
Gruppenuntersuchung Frage: eine bakterienart kommt mit der Häufigkeit 0,14 vor. Mit welcher Wahrscheinlichkeit haben in einer Gruppe von 12 Personen mindesten 2 diese bakterienart? Diesen Teil hab ich bereits gelöst? b.Es soll eine größere Anzahl von Proben untersucht werden. Es werden jeweils 5 proben vermischt und untersucht und nur wenn diese positiv ist wird jede probe einzeln untersucht. Wie groß ist die erwarete Anzahln von Untersuchungen pro 5er Gruppe/pro Blutprobe? Wie groß ist daher die Ersparnis gegenüber der Einzeluntersuchung? Ich habe leider überhaupt keine Ahnung wie ich den Teil b lösen kann Könnt ihr mir helfen? Lg stefan
07.06.2012, 20:22	Kasen75	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo, ich habe mir das so überlegt. Eine Untersuchung ist auf jeden Fall nötig. Jetzt muss man die Wahrscheinlichkeit prüfen, dass eine ohne mehr die Proben positiv ist. Dafür würde ich die Binomialverteilung heranziehen. Allgemein sieht sie ja so aus: $\begin{eqnarray} B(p,n,k)=\sum\limits_{k=0}^n \binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k} \end{eqnarray}$ In der Aufgabe wäre n schon mal 5. Jetzt muss man sich nur überlegen für welche k man die Wahrscheinlichkeit berechnen muss. Man muss sie für alle $\begin{eqnarray} k>0 \end{eqnarray}$ berechnen. $\begin{eqnarray} \textrm{k=Anzahl der positiven Proben} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} P(k>0)=\sum\limits_{k=1}^5 \binom{n}{k} \cdot (0,14)^k \cdot (0,86)^{n-k} \end{eqnarray}$ Jedoch kann man auch mit der Gegenwahrscheinlichkeit rechnen: $\begin{eqnarray} P(k>0)=1-P(k\leq 0)=1-P(k=0) \end{eqnarray}$ Das vereinfacht die Rechnung erheblich. Diese Wahrscheinlichkeit muss man ja dann mit den nötigen Anzahl der Zweituntersuchungen multiplizieren und die Erstuntersuchung dazuaddieren. Dann hat man die erwartete Anzahl von Untersuchungen , bei 5 Blutproben. Mit freundlichen Grüßen.

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