Stetigkeit von x^x prüfen

07.06.2012, 12:23

misterfopper

Stetigkeit von x^x prüfen

Meine Frage:
Hallo,

ich soll überprüfen ob die Funktion

$\begin{eqnarray*} f: (0,\infty ) \rightarrow (0,\infty ) \end{eqnarray*}$ definiert durch $\begin{eqnarray*} f(x) = x^x \end{eqnarray*}$

stetig ist.

Meine Ideen:
Jede ganzrationale Fkt. ist auf ihrem Definitionsbereich stetig, somit wäre f stetig. Ich glaube jedoch nicht, dass das reicht, deshalb vielleicht folgendermaßen:

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 0^+} x^x = 0 = \lim_{x \to 0^-} x^x = f(0) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to \infty^+} x^x = 0 = \lim_{x \to \infty^-} x^x = f(\infty) \end{eqnarray*}$

07.06.2012, 12:30

ee-Matze

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Hi,

ich mache das immer folgendermaßen. Ich weiß aber nicht, ob es ein sichereres Verfahren dafür gibt.

Du musst dir überlegen, ob es eine Definitionslücke gibt. Bei Einer Funktion der Form f(x)=1/x wäre ja z.B. die Stelle x=0 nicht definiert.
Bei x^x gilt: für x ungleich 0 ist es überall definiert. Das einzige Problem wird wohl bei x=0 auftreten. Denn 0^0 ist nicht eindeutig definiert. 0^0 kann 0 sein aber auch 1.

Also: Da 0^0 nicht definiert ist die Funktion an der Stelle x=0 nicht definiert (also nicht stetig). An allen anderen Stellen ist die Funktion stetig.

Ich hoffe ich konnte helfen.

Gruß, Matze

P.S.: Wenn ich mich irgendwo vertan habe bitte ich die Mitglieder hier, mich zu verbessern.

07.06.2012, 12:34

Iorek

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RE: Stetigkeit von x^x prüfen

Zitat:

Original von misterfopper
Jede ganzrationale Fkt. ist auf ihrem Definitionsbereich stetig, somit wäre f stetig.

Das stimmt zwar, aber du hast hier keine ganzrationale Funktion vorliegen. Schreibe die Funktion als Verkettung von e- und Logarithmusfunktion, dann kannst du die Stetigkeit leicht herleiten.

07.06.2012, 12:51

Nubler

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richtig, es ist kein polynom

wie sich die funktion an den rändern verhält hat erst mal nix mit stetigkeit zu tun, so ist die sinusfunktion stetig, grenzwert gegen $\begin{eqnarray*} \pm \infty \end{eqnarray*}$ existiert aber nicht.
abererseits existiert bei der funktion:

$\begin{eqnarray*} g: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} x \rightarrow 0 \forall x \in \mathbb{Q} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} x \rightarrow e^{-x^2} \forall x \notin \mathbb{Q} \end{eqnarray*}$

jeder grenzwert, die is aber in keinen punkt stetig.

da stellt sich mir folgende frage: wie habt ihr die stetigkeit eingeführt?

07.06.2012, 14:01

misterfopper

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RE: Stetigkeit von x^x prüfen

Zitat:

Original von Iorek
Schreibe die Funktion als Verkettung von e- und Logarithmusfunktion, dann kannst du die Stetigkeit leicht herleiten.

$\begin{eqnarray*} F(x) = x^x = e^{ln(x^x)} = e^{xln(x)} \end{eqnarray*}$

Zitat:

Original von Nubler
da stellt sich mir folgende frage: wie habt ihr die stetigkeit eingeführt?

Sei $\begin{eqnarray*} D \subset \mathbb R \end{eqnarray*}$ . Eine Fkt. $\begin{eqnarray*} f: D \rightarrow \mathbb R \end{eqnarray*}$ heißt genau dann stetig in $\begin{eqnarray*} x_0 \in D \end{eqnarray*}$ , wenn gilt $\begin{eqnarray*} \lim_{x \to x_0} f(x) = f(x_0) \end{eqnarray*}$ . f heißt stetig in D, wenn f stetig ist für alle $\begin{eqnarray*} x_0 \in D \end{eqnarray*}$ .

07.06.2012, 15:14

Iorek

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Ist dir denn bekannt, dass die Verkettung stetiger Funktionen wieder eine stetige Funktion ergibt? Dann wärst du jetzt nämlich quasi fertig.

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