Optimierung: Problem bei der Ermittlung der Nullstellen

07.06.2012, 14:37

Gast20082012

Optimierung: Problem bei der Ermittlung der Nullstellen

Hallo zusammen,

für eine ingenieurwissenschaftliche Projektarbeit möchte ich ein Optimierungsproblem (nichtlineare Zielfunktion mit einer Nebenbedingung) lösen. Am Ende meiner Berechnung ergibt sich die geschlossene Funtion der Form
$\begin{eqnarray*} s(x) = \frac { a*b* ( a^2* ( 8x^2 + a^2 ) *sign(a)* ( \ln ( a* ( \sqrt{16x^2+a^2}*sign(a)-4x ) ) -\ln ( a* ( \sqrt{16x+a^2}*sign(a)+4x ) ) ) +64x^3*\sqrt{16x^2+a^2} ) } { ( 64x^2*c*\sqrt{16x^2+a^2} ) } \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} a,b,c = const. \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} a,b,c > 0 \Rightarrow sign(a) = 1 \end{eqnarray*}$

Nun möchte ich die Nullstellen $\begin{eqnarray*} x_i \end{eqnarray*}$ dieser Funktion ermitteln, d. h. $\begin{eqnarray*} s(x) = 0 \end{eqnarray*}$ nach $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ lösen.
Mit meinem CAS (Derive) sowie mit dem Online Wolfram Tool lässt sich die Funktion plotten und es ist eindeutig zu sehen, dass die Funktion mindestens zwei Nullstellen besitzt. Ausprobieren, d. h. Einsetzen von Näherungswerten der Nullstellen) bestätigt dies.
Leider gibt das CAS und auch das Online Wolfram Tool die Nullstellen rechnerisch nicht aus. Das CAS gib einen umgeformten Ausdruck ... = 0 aus. Das Online Wolfram Tool bricht die Berechnung ohne Ergebnis, allerdings auch ohne Fehlermeldung, ab.

Ich würde nun gerne wissen, welche Möglichkeiten es gibt, die Nullstellen rechnerisch geschlossen darzustellen? Geht das noch analytisch oder nur noch mit numerischen Verfahren? Mit welchem Verfahren komme ich hier zu meinem Ziel? Könnt ihr mir helfen?

Danke schon mal
Viele Grüße

07.06.2012, 16:11

Gast20082012

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RE: Optimierung: Problem bei der Ermittlung der Nullstellen
...vielleicht kann jemand das mal in ein "profesionelles" CAS (z. B. Mathematica) eingeben und mir sagen, ob dieses eine geschlossene Lösung ausgibt, und ob diese numerisch oder analytisch gelöst wurde.

Hier die Eingabe in mein CAS, damit es leichter ist:
SOLVE[a*b*(a^2*(8*x^2 + a^2)*SIGN(a)*(LN(a*(sqrt(16*x^2 + a^2)*SIGN(a) - 4*x)) - LN(a*(sqrt(16*x^2 + a^2)*SIGN(a) + 4*x))) + 64*x^3*sqrt(16*x^2 + a^2))/(64*x^3*c*sqrt(16*x^2 + a^2)) = 0, x]

Danke und viele Grüße

07.06.2012, 16:40

Mystic

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RE: Optimierung: Problem bei der Ermittlung der Nullstellen
Einige Bemerkungen zu deinem Problem:

1. Jeder, der ein bißchen eine Ahnung von nichtlinearen Gleichungen hat und diese monströse Formel sieht, würde auf Anhieb sagen, dass sich - mit einer Irrtumswahrscheinlichkeit von weniger als 1% - ihre Nullstellen nicht exakt bestimmen lassen... Warum du nicht? verwirrt

2. In der Formel kommt an drei(!) Stellen der Faktor sign(a) vor, von dem du selber sagst, dass er 1 ist... Warum in aller Welt setzt du dann nicht 1 dafür ein? geschockt

3. Warum präsentierst du uns eigentlich eine sehr umständliche Lösung, die möglicherweise sogar falsch ist, statt des wahrscheinlich viel einfacheren Originalproblems? verwirrt

4. Derive ist ein "professionelles" CAS, jedenfalls noch für Probleme dieser Art, auch wenn du offenbar was anderes zu glauben scheinst... unglücklich

07.06.2012, 18:00

Gast20082012

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@Mystic: Super hilfreiche Antwort. Danke! Finger2

1. Weil ich kein Mathematiker bin. Und wenn Sie vernünftig gelesen hätten, so hätten Sie erkannt, dass ich schon in Erwägung gezogen habe, dass die Gleichung vielleicht nur numerisch gelöst werden kann.

2. Was macht das für einen Unterschied, außer dass es etwas kürzer ist? Aber bitte, hier nochmal die Funktionsgleichung mit 1 eingesetzt:
$\begin{eqnarray*} s(x) = \frac { a*b* ( a^2* ( 8x^2 + a^2 ) * ( \ln ( a* ( \sqrt{16x^2+a^2}-4x ) ) -\ln ( a* ( \sqrt{16x+a^2}+4x ) ) ) +64x^3*\sqrt{16x^2+a^2} ) } { ( 64x^2*c*\sqrt{16x^2+a^2} ) } \end{eqnarray*}$

3. Die Lösung des Optimierungsproblem ist korrekt, das konnte ich durch Einsetzen von Werten sicherstellen. Es geht mir einzig um die Darstellung des Ergebnisses.

4. Wie Sie meinen.

Vielleicht gibt es noch jemanden, der mir wirklich helfen will. Es wäre es immer noch interessant zu wissen, welches numerische Lösungsverfahren, sich für diese Art von Funktionen besonders gut eignet?

Viele Grüße

07.06.2012, 18:33

Gast20082012

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Hallo zusammen.

OK, das Thema kann geschlossen werden. Ich habe eine Methode gefunden, die mir genügt.

Ich wundere mich schon sehr über den Umgang, der von jemandem, der häufig in diesem Forum verkehrt, an den Tag gelegt wird. Finger2

Viele Grüße

07.06.2012, 18:40

sulo

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Ich finde die Antwort von Mystic vollkommen in Ordnung.

Vielmehr ist es deine Reaktion, die ziemlich unpassend ist.

07.06.2012, 19:16

Mystic

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Zitat:

Original von Gadej
@Mystic: Super hilfreiche Antwort. Danke! Finger2

Hm, wieso nicht hilfreich? Habe ich nicht auf die Hauptfrage - jedenfalls schien sie mir das zu sein - ob es hier ein möglicherweise Verfahren zur exakten Bestimmung der Nullstellen gibt, sehr klar geantwortet, dass die Chancen dafür denkbar gering sind...

Zitat:

Original von Gadej
2. Was macht das für einen Unterschied, außer dass es etwas kürzer ist? Aber bitte, hier nochmal die Funktionsgleichung mit 1 eingesetzt:
$\begin{eqnarray*} s(x) = \frac { a*b* ( a^2* ( 8x^2 + a^2 ) * ( \ln ( a* ( \sqrt{16x^2+a^2}-4x ) ) -\ln ( a* ( \sqrt{16x+a^2}+4x ) ) ) +64x^3*\sqrt{16x^2+a^2} ) } { ( 64x^2*c*\sqrt{16x^2+a^2} ) } \end{eqnarray*}$

Natürlich macht es einen Unterschied, im konkreten Fall weiss z.B. das CAS, das das Argument vom ln immer positiv ist... Auch der Nenner kann hier in Hinblick auf einen Nullstellenbestimmung sofort weggelassen... Derive kann dann die Nullstellenbestimmung immerhin schon vereinfachen zu

$\begin{eqnarray*} a^2(8x^2 + a^2) \ln{(\sqrt{16x^2 + a^2} - 4x)^2/a^2)} + 64x^3 \sqrt{16x^2 + a^2} = 0 \quad (*) \end{eqnarray*}$

was schon viel freundlicher aussieht, obwohl es mit großer Wahrscheinlichkeit noch immer nicht
exakt lösbar ist..

Zitat:

Original von Gadej

Vielleicht gibt es noch jemanden, der mir wirklich helfen will. Es wäre es immer noch interessant zu wissen, welches numerische Lösungsverfahren, sich für diese Art von Funktionen besonders gut eignet?

Prinzipiell würde ich a mal einen Wert geben und dann die linke Seite von (*) plotten... In Derive kannst dann mit dem Mousecursor die ungefähren Koordinaten der Nullstelle bestimmen... Das sollte dannvor allem für den Aufruf von nsolve(...) nützlich sein, wo man ja dann auch Intervall für eine gesuchte Nullstelle eingeben muss...

Edit: Ich hatte, als ich das alles schrieb, obige Reaktion von Gadej noch nicht gelesen... Naja, damit hat sich dann wohl alles erübrigt... unglücklich

07.06.2012, 19:32

Gast20082012

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Hallo zusammen,

@Mystic: Die grundsätzliche Frage hast du beantwortet, da gebe ich dir Recht. Die Art und Weise deiner Antwort (der "Ton" Augenzwinkern

hat mich nur irritiert. Ist aber in Ordnung.

Zitat:

Original von Mystic:
1. Jeder, der ein bißchen eine Ahnung von nichtlinearen Gleichungen hat und diese monströse Formel sieht, würde auf Anhieb sagen, dass sich - mit einer Irrtumswahrscheinlichkeit von weniger als 1% - ihre Nullstellen nicht exakt bestimmen lassen... Warum du nicht? verwirrt

Die Vereinfachungen (Nenner fällt weg, Faktor a*b fällt weg, sign(x) = 1 gleich oder später eingesetzt) machen die Gleichung zwar kürzer, aber soweit ich das beurteilen kann, spielt das für die Lösbarkeit absolut keine Rolle.

Die Sache mit dem Plotten habe ich schon gemacht. Es ging mir, wie gesagt nur um die Darstellung des Ergebnisses (nur numerisch, also rekursiv oder analytisch). Die Antwort kenne ich nun.

Danke und viele Grüße

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