Grenzwert berechnen - gehts einfacher?

07.06.2012, 17:55

Esto

Grenzwert berechnen - gehts einfacher?

Hihi,

Aufgabe :
Berechne den Grenzwert:
$\begin{eqnarray*} \lim \limits_{x \rightarrow 0} \frac{\cos (x^4)- 1}{x^4 \cdot e^x} \end{eqnarray*}$

Eigentlich ist es kein Problem . Ich dachte mir, ich kann so lange LHospital anwenden bis ich im Nenner irgendwann einen Summanden zu stehen habe mit e^x ohne einen Faktor x davor. Das klappt auch. Allerdings ist das eine ziemliche Rumrechnerei. In einer Klausur würde diese Aufgabe dann zu viel Zeit beanspruchen.
Nun wollte ich euch Genies Augenzwinkern

mal fragen, ob es vielleicht einfacher geht ("Scharfes Hinsehen" etwa ?)

MfG

07.06.2012, 18:01

HAL 9000

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Erst das Produkt zerlegen, und dann auf einen Faktor die Substitution $\begin{eqnarray*} y=x^4 \end{eqnarray*}$ anwenden:

$\begin{eqnarray*} \lim\limits_{x\to 0} \frac{\cos(x^4)-1}{x^4\cdot e^x} = \lim\limits_{x\to 0} \frac{\cos(x^4)-1}{x^4} \cdot \lim\limits_{x\to 0} \frac{1}{e^x} = \lim\limits_{y\to +0} \frac{\cos(y)-1}{y} \cdot 1 \end{eqnarray*}$

07.06.2012, 18:13

Esto

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Okay, dann wende ich darauf also wieder Lhospital an:
$\begin{eqnarray*} = \lim \limits_{ y \to 0^+} \frac{-\sin(y)}{1} = 0 \end{eqnarray*}$

Und das war's schon? Muss ich nix irgednwie zurücksubstituieren? verwirrt

07.06.2012, 18:20

HAL 9000

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Zitat:

Original von Esto
Muss ich nix irgednwie zurücksubstituieren? verwirrt

Na wenn du solche Fragen stellst, solltest du vielleicht nochmal über das Wesen der Substitution hier nachdenken. Augenzwinkern

07.06.2012, 18:37

Esto

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Wikipedia: " Unter Substitution versteht man allgemein das Ersetzen eines Terms durch einen anderen. Dies wird üblicherweise angewandt um den Ausdruck, der den Term enthält, zu vereinfachen beziehungsweise in eine Standardform zu überführen ... "

Na dann meine ich man muss es nicht zurücksubstituieren. Wobei das ja hier keinen Unterschied machen würde...

Das mit dem Substituieren bei Grenzwertberechnungen war mir nicht geläufig. Aber auf jeden Fall eine Bereicherung Big Laugh

07.06.2012, 18:42

HAL 9000

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Na wenn du es ganz genau wissen willst, kannst du ja folgendes über Epsilontik nachweisen:

Zitat:

Existiert $\begin{eqnarray*} a:=\lim_{y\to y_0} f(y) \end{eqnarray*}$ und ist $\begin{eqnarray*} x\mapsto g(x) \end{eqnarray*}$ im Punkt $\begin{eqnarray*} x=x_0 \end{eqnarray*}$ stetig mit Funktionswert $\begin{eqnarray*} y_0=g(x_0) \end{eqnarray*}$ , so gilt auch

$\begin{eqnarray*} \lim_{x\to x_0} f(g(x)) = a \end{eqnarray*}$ .

07.06.2012, 18:46

Esto

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Wenn ich den nötigen Grips dafür hätte, würde ich das tun. Big Laugh

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