Grenzwert berechnen

07.06.2012, 22:31	Esto	Auf diesen Beitrag antworten »
Grenzwert berechnen Hallo / Guten Abend, ich bräuchte mal bitte eine Bestätigung ob das richtig ist bzw. wo vielleicht ein Fehler sein könnte. Aufgabe : Berechne den Grenzwert: $\begin{eqnarray} \lim \limits_{x \to \infty} x^2 \cdot (e^{1/x} - e^{1/(x+1)}) \end{eqnarray}$ ] $\begin{eqnarray} = \lim \limits_{x \to \infty} x^2 \cdot (e^{1/x} - e^{1/x} \cdot e^{-1}) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} = \lim \limits_{x \to \infty} x^2 \cdot e^{1/x} \cdot ( 1- \frac 1 e) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} = ( 1- \frac 1 e) \lim \limits_{x \to \infty} x^2 \cdot e^{1/x} = \infty \end{eqnarray}$
07.06.2012, 23:11	Equester	Auf diesen Beitrag antworten »
Wie kommst du denn auf die zweite Zeile? Ich würde x² als e^{2ln(x)} schreiben und ausmultiplizieren .
10.06.2012, 21:01	Esto	Auf diesen Beitrag antworten »
Ach je ... Aber wie weiter : $\begin{eqnarray} \lim \limits_{x \to \infty} e^{2ln(x)} \cdot (e^{1/x} - e^{\frac 1 {x+1}}) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \lim \limits_{x \to \infty} (e^{1/x + 2ln(x)} - e^{\frac 1 {x+1} + 2ln(x)}) \end{eqnarray}$ Ich habs mit Substitution versucht. Aber das bringt mich nicht so recht weiter ... Einen weiteren Hinweis bitte xD Mfg
11.06.2012, 00:01	Equester	Auf diesen Beitrag antworten »
Hab die Potenzgesetze nicht beachtet . Bei mir war das Problem etwas einfacher^^. Direkt sehen tue ich es ebenfalls nicht. Hab aber den Tipp mit wolfram bekommen: wolfram-alpha Es werden dort auch die Rechenschritte angezeigt.
11.06.2012, 01:19	Esto	Auf diesen Beitrag antworten »
Wolfram Alpha ist mir bekannt. Darf ich aber in der Klausur auch nicht verwenden --- Mist Mist --- Wieder eine Aufgabe die mich nicht ruhig schlafen lässt.
11.06.2012, 01:35	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Grenzwert berechnen Ich hoffe Equester hat nichts dagegen, aber mit der Exponentialreihe lässt sich das ganze recht fix lösen. Es reicht dabei $\begin{eqnarray} e^{\frac 1 x } = 1 + \frac 1 x + \frac 1 {2x^2} + \mathcal O(1/x^3) \end{eqnarray}$ zu schreiben. und den anderen analog. Die 1 am Anfang kürzen sich weg, die Brüche danach werden zu einem Bruch mit quadratischem Nenner (hier kommt der Grenzwert her) und der Rest verschwindet für x gegen unendlich. (Je nachdem wie man mit dem 2x^2-Bruch umgeht, wird man den noch separat behandeln müssen und er wird sich im Grenzwert wegkürzen mit dem entsprechenden der anderen Reihe kürzen). Alternativ kann man die Brüche zuerst zusammenfassen, um einen Bruch mit Nennergrad 3 zu bekommen, was die Sache sofort erledigt.
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13.06.2012, 00:48	Esto	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Grenzwert berechnen Danke, habs damit gelöst bekommen.

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