Urnenmodell - ohne Zurücklegen, ohne Reigenfolge, Mindestens

08.06.2012, 01:59

JörgK

Urnenmodell - ohne Zurücklegen, ohne Reigenfolge, Mindestens

Meine Frage:
Hallo zusammen
Also meine Fragestellung ist Folgendes:
Ich habe eine Urne mit m bunten Kugeln (weiß und blau). Die Anzahl der blauen Kugeln ist mit b bekannt.
Nun wird k-Mal ohne Zurücklegen ohne Beachtung der Reihenfolge gezogen.
Nun stellt sich die Frage, wie hoch die Wahrscheinlichkeit ist, MINDESTENS (und das ist der Knackpunkt) x blaue Kugeln zu ziehen.

Meine Ideen:
Ich habe mir ein Formel aufgestellt mit der ich bei b blauen Kugeln die Wahrscheinlichkeit für mindestens 1 blaue rausbekomme:

$\begin{eqnarray*} \frac{\frac{m!}{(m-k)!*k!}-\frac{(m-b)!}{(m-b-k)!*k!} }{\frac{m!}{(m-k)!*k!} } \end{eqnarray*}$

Oder etwas übersichtlicher:

$\begin{eqnarray*} 1-\frac{(m-b)!*(m-k)!}{m!(m-b-k)!} \end{eqnarray*}$

Aber wie gesagt, das gilt nur für den Fall, dass nach mindestens einer blauen Kugel gezogen wird - nicht für z.B. mindestens 2.

Hoffe ihr habt noch eine bessere Idee für mich.

Schönes Wochenende
Jörg

08.06.2012, 05:57

Dopap

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Deine Formel ist ohne Herleitung, deshalb nicht nachvollziehbar.

Sei B die Anzahl der gezogenen blauen Kugeln, dann ist meiner Meinung nach

$\begin{eqnarray*} p(B\geq x)= \sum_{\mu=x}^b \frac { \binom {b}{\mu} \binom {m-b}{k-\mu} }{ \binom {m}{k} }\quad \land \quad x \leq b \end{eqnarray*}$

ob man das vereinfachen kann?

08.06.2012, 09:33

JörgK

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Könntest du mir vielleicht deine Formel noch etwas erläutern ?
Was ist bei dir My ? (Also was ist der Startwert ?)
Zur Herleitung für meine Formel:
Mein Gedanke dahinter war eingentlich rech simpel:
Laut Wiki ist $\begin{eqnarray*} \frac{N!}{k!(N-k)!} \end{eqnarray*}$ die Anzahl aller Möglichkeiten (bei k Versuchen, N Kugeln und dem 4. Urnenmodell).
(Jetzt das Beispiel 2 blaue Kugeln, mindestens 1 verlangt)
Ich nun sage, dass ich von der Gesamtzahl der Möglichkeiten die Möglichkeiten für die gleiche Anzahl Versuche, aber mit 2 Kugeln weniger, abziehe, erhalte ich die Anzahl der Möglichkeiten, in denen die zumindest 1 der beiden drin ist.
Teile ich das nun durch die Gesamtzahl habe ich die Wahrscheinlichkeit.

Hoffe es ist jetzt etwas klarer, wie ich drauf gekommen bin.

08.06.2012, 10:34

Dopap

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deine Formel bezieht sich auf Ziehen mit Zurücklegen. Das kann man auch als Binomialkoeffizient $\begin{eqnarray*} \binom n k \end{eqnarray*}$ schreiben.
Die Verteilung ist die Binomialverteilung.

$\begin{eqnarray*} p(B=x)= \binom m k (\frac b m)^x (\frac {m-b}{m})^{k-x} \end{eqnarray*}$

ist die Wkt genau x blaue Kugeln zu ziehen.
---------------------------------------------------------------------
Hier gilt aber ohne Zurücklegen. Dann gilt die hypergeometrische Verteilung.

$\begin{eqnarray*} p(B= x)= \frac { \binom {b}{x} \binom {m-b}{k-x} }{ \binom {m}{k} } \end{eqnarray*}$

ist die Wkt genau x blaue Kugeln zu ziehen.

Nun sollen es aber mindestens x blaue sein, also
genau x blaue oder
genau x+1 blaue oder
genau x+2 blaue oder
.....
genau b blaue zu ziehen.
--------------------------------------- Die Wkts dürfen addiert werden.

für x bis b brauche ich noch einen Laufindex, der automatisch vom Summenzeichen hochgezählt wird, hier $\begin{eqnarray*} \mu \end{eqnarray*}$ genannt.

$\begin{eqnarray*} p(B\geq x)= \sum_{\mu=x}^b \frac { \binom {b}{\mu} \binom {m-b}{k-\mu} }{ \binom {m}{k} }\quad \land \quad x \leq b \end{eqnarray*}$

Zitat:

[...] Ich nun sage, dass ich von der Gesamtzahl der Möglichkeiten die Möglichkeiten für die gleiche Anzahl Versuche, aber mit 2 Kugeln weniger, abziehe, erhalte ich die Anzahl der Möglichkeiten, in denen die zumindest 1 der beiden drin ist.
Teile ich das nun durch die Gesamtzahl habe ich die Wahrscheinlichkeit.

08.06.2012, 13:30

JörgK

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Also auf jeden Fall funktioniert deine Formel und das ist für die Lösung meines Problems erstmal die Hauptsache.
Um die Herleitung zu bitten erspare ich dir mal, ich denke, wenn ich nach "hypergeometrische Verteilung" google, werde ich die schon alleine finden Augenzwinkern

Auf jeden Fall ein DICKES DANKE an dich !!

Zu dem Teil, den du zitiert hast:
Ich wollte die Formel, die ich mir ausgedacht hatte lediglich anhand eines Beispiels erläutern - hat's wohl nur noch schlimmer gemacht...

Schönes Wochenende dir noch !

08.06.2012, 15:48

Dopap

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ja Danke! für ein sauberes Ende des Threads:

wenn die m Kugeln nummeriert wären, gibt es $\begin{eqnarray*} \binom b x \end{eqnarray*}$ Möglichkeiten die x Treffer aus den Blauen auszuwählen.
Es gibt dann noch $\begin{eqnarray*} \binom {m-b}{k-x} \end{eqnarray*}$ Möglichkeiten aus den Weissen k-x Nichttrefffer zu ziehen.

Das Produkt sind dann alle günstigen Möglichkeiten.

Insgesamt gibt es aber $\begin{eqnarray*} \binom m k \end{eqnarray*}$ ,Möglichkeiten k Kugeln zu ziehen, und frei nach $\begin{eqnarray*} p= \frac {\textrm {günstige Fälle}}{\textrm{mögliche Fälle}} \end{eqnarray*}$

steht das Ergebnis fest.

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