Prädikatenlogik, Sachverhalte in Formeln ausdrücken

08.06.2012, 13:16	Iorek	Auf diesen Beitrag antworten »
Prädikatenlogik, Sachverhalte in Formeln ausdrücken Aloha, folgende Aufgabe bereitet mir ein kleines Problem: Sei $\begin{eqnarray} \mathfrak A =(\mathbb Q^{2\times 2},+,\cdot, P) \end{eqnarray}$ die Menge der $\begin{eqnarray} 2\times 2 \end{eqnarray}$ -Matrizen über $\begin{eqnarray} \mathbb Q \end{eqnarray}$ mit der üblichen Addition und Multiplikation sowie $\begin{eqnarray} P=\left\{\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}~\Big\| ~b=c=d=0\right\} \end{eqnarray}$ . Geben Sie $\begin{eqnarray} \operatorname{FO}(\{+,\cdot,P\}) \end{eqnarray}$ -Formeln an, die ausgewertet in $\begin{eqnarray} \mathfrak A \end{eqnarray}$ die folgenden Sachverhalte ausdrücken: 1. $\begin{eqnarray} x \end{eqnarray}$ ist die Einheitsmatrix und $\begin{eqnarray} \det(y)=0 \end{eqnarray}$ 2. Mindestens eine der Spalten von $\begin{eqnarray} x \end{eqnarray}$ ist eine Nullspalte. 3. $\begin{eqnarray} x \end{eqnarray}$ ist eine Diagonalmatrix 1. und 3. sind soweit kein Problem, allerdings finde ich für die Aussage in 2. noch keine Formel. Bisher kann ich über die Formel $\begin{eqnarray} \varphi(x)=\exists p(Pp \wedge x\cdot p = y \wedge y+y=y) \end{eqnarray}$ sagen, dass mindestens die linke Spalte von $\begin{eqnarray} x \end{eqnarray}$ Nullspalte ist, mir fehlt aber eine Idee für "mindestens die rechte Spalte ist Nullspalte". Kann mir da einer aushelfen? Nachtrag: die angegebene Formel ist natürlich (noch) nicht richtig, das gewählte $\begin{eqnarray} p \end{eqnarray}$ sollte natürlich nicht die Nullmatrix sein, das muss also noch zur formel hinzugefügt werden.
08.06.2012, 14:56	Iorek	Auf diesen Beitrag antworten »
Und dann wars das schon, Multiplikation von links mit einer Matrix aus $\begin{eqnarray} P \end{eqnarray}$ führt zu einer Formel.

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