Ableitung f: R^2 -> R^2

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08.06.2012, 13:19	steviehawk	Auf diesen Beitrag antworten »
Ableitung f: R^2 -> R^2 Meine Frage: Hallo Leute, wie leite ich den so eine Funktion hier ab? $\begin{eqnarray} f(x,y) = \begin{pmatrix} e^x cos (y) \\ e^x sin (y) \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Die Aufgabe lautet: Compute $\begin{eqnarray} f'(x,y) \end{eqnarray}$ ans show $\begin{eqnarray} f'(x,y) \end{eqnarray}$ ist invertible for all $\begin{eqnarray} (x,y) \in \mathbb R^2 \end{eqnarray}$ Meine Ideen: Danke!
08.06.2012, 13:33	Cel	Auf diesen Beitrag antworten »
f' bezeichnet die Jacobi-Matrix.
08.06.2012, 14:05	steviehawk	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke! Also ist: $\begin{eqnarray} f'(x,y) = \begin{pmatrix} e^x cos(y) & -e^x sin(y) \\ e^x sin(y) & e^xcos(y) \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Nun muss ich begründen, dass diese Matrix für alle (x,y) invertierbar ist, was ich so machen würde: $\begin{eqnarray} det(f'(x,y)) = (e^x cos(y))(e^xcos(y)) - (e^x sin(y)(-e^xsin(y)) = <br /> <br /> e^{2x} cos(y)^2 + e^{2x} sin(y)^2 = e^{2x} (cos(y)^2+sin(y)^2) = e^{2x} \neq 0 \end{eqnarray}$ für $\begin{eqnarray} x \in \mathbb R \end{eqnarray}$ Also ist f'(x,y) für alles x,y invertierbar oder?
08.06.2012, 14:14	Cel	Auf diesen Beitrag antworten »
Alles richtig!
08.06.2012, 14:18	steviehawk	Auf diesen Beitrag antworten »
Super Es ist nun noch die Frage: Is $\begin{eqnarray} f \end{eqnarray}$ "one to one“ on $\begin{eqnarray} \mathbb R^2 \end{eqnarray}$ heißt one to one = injektiv?? Oder was bedeutet das?
08.06.2012, 14:19	Cel	Auf diesen Beitrag antworten »
One to one = 1 zu 1, oder eben bijektiv.
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08.06.2012, 14:29	steviehawk	Auf diesen Beitrag antworten »
Okay Danke! Zur Injektivität, die ist ja erfüllt, wenn ker(f(x,y)) = 0 ist also nur der Nullvektor oder? das heißt: $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} e^x cos (y) \\ e^x sin (y) \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} v_1 \\v_2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ das ist aber nur für $\begin{eqnarray} v_1 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} v_2 \end{eqnarray}$ gleich Null gegeben, denn $\begin{eqnarray} e^x \end{eqnarray}$ ist immer ungleich Null und der sinus und cosinus von y können nicht beide gleichzeitig Null sein. also v_1 und v_2 gleich Null. Da Bildraum und Definitionsbereich die gleiche Dimension haben folgt doch aus injektivität direkt die surjektivität oder?
08.06.2012, 14:34	Cel	Auf diesen Beitrag antworten »
Vorsicht! Das, was du da machst, gilt nur für lineare (!) Abbildungen. Und das ist auch keine Abbildungsmatrix, da wird nichts dranmultipliziert. Nur eingesetzt. Du musst das wohl oder übel mit der Definition machen.
08.06.2012, 14:37	steviehawk	Auf diesen Beitrag antworten »
Okay, hab mich schon gewundert! Also mit der Definition von injektiv und surjektiv? Also dann noch mal injektiv: Es darf für ein $\begin{eqnarray} v \in \mathbb R^2 \end{eqnarray}$ höchstes 1 $\begin{eqnarray} w \in \mathbb R^2 \end{eqnarray}$ geben, so dass: f(w) = v gilt. Also: sei $\begin{eqnarray} w = \begin{pmatrix} w_1 \\ w_2 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ dann ist: $\begin{eqnarray} f(w) = \begin{pmatrix} e^{w_1} cos (w_2) \\ e^{w_1} sin (w_2) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} v_1 \\ v_2 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Kann ich jetzt schon sagen, dass $\begin{eqnarray} v_1 \end{eqnarray}$ eindeutig durch w_1 und w_2 bestimmt ist?
08.06.2012, 16:20	Cel	Auf diesen Beitrag antworten »
Warum wird das dadurch eindeutig bestimmt? Wenn wir jetzt mal $\begin{eqnarray} v_1 = 0 \end{eqnarray}$ wählen, dann ist $\begin{eqnarray} w_1 \end{eqnarray}$ beliebig und zum Beispiel $\begin{eqnarray} w_2 = \frac{\pi}{2} \end{eqnarray}$ . Das zeigt dir, dass das Dingen wahrscheinlich nicht injektiv ist - suche doch mal zwei Urbilder für (0,0). Und wenn du das schaffst, kennst du auch die Antwort auf die Frage.
08.06.2012, 17:43	steviehawk	Auf diesen Beitrag antworten »
Okay jetzt sehe ich es auch, also wenn ich $\begin{eqnarray} w = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ wähle und $\begin{eqnarray} \tilde{w} = \begin{pmatrix} 0 \\ \frac{\pi}{2} \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ dann folgt: $\begin{eqnarray} v = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} = f(w) = f(\tilde{w}) \end{eqnarray}$ Also gibt es für den Einheitsvektor v 2 Urbilder, also ist f nicht injektiv! passt das?
09.06.2012, 10:22	Cel	Auf diesen Beitrag antworten »
Nee, sin(Pi/2) ist doch nicht 0. Korrigier das mal, im Grunde ist es ja richtig. Wie sieht es dann mit one-to-one aus?
09.06.2012, 10:59	steviehawk	Auf diesen Beitrag antworten »
Oh, das muss $\begin{eqnarray} 2 \pi \end{eqnarray}$ heißen. Also wenn es nicht injektiv ist, dann kann es zwar noch surjektiv sein, aber jedenfalls nicht bijektiv, also auch nicht "one to one“ Oder?
09.06.2012, 13:22	Cel	Auf diesen Beitrag antworten »
Genau so ist es! Übrigens - surjektiv ist die Funktion auch nicht.
12.06.2012, 11:19	steviehawk	Auf diesen Beitrag antworten »
Es ist jetzt noch zu zeigen, dass die Abbildung aber eingeschränkt auf: $\begin{eqnarray} S = \mathbb R \times (-\pi, \pi) \end{eqnarray}$ bijektiv ist (one to one) Also, wenn es nicht injektiv ist, dann ist es ja nicht schwer, Punkte zu finden, für die es eben nicht gilt. Aber soll ich jetzt alle Punkte testen?? Ich habe mir überlegt, dass der cos(y) ja für das Intervall nur Werte in (-1,1) annimmt und der Sinus auch. Aber wie sage ich dann, dass es die Injektivität folgt?
14.06.2012, 22:10	steviehawk	Auf diesen Beitrag antworten »
Alle Tricks die ich kenne, gelten nur für lineare Abbildungen, diese ist ja aber nicht linear! Wie mache ich denn das dann?

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