Momenterzeugende Funktion

08.06.2012, 16:29	Kimi_R	Auf diesen Beitrag antworten »
Momenterzeugende Funktion Hallo liebe Matheboard-User, [Für die Mods: Ich hab ausversehen den Thread gestern im entsprechenden Teilforum für Schüler gestellt. Das ist mir eben erst aufgefallen. Wenn ihr den Thread dort bitte löschen könntet] wenn jemand von euch so freundlich wär mir bei folgender Aufgabe zur Hand zu gehen (tu mir in der Stochastik noch etwas schwer ) Voraussetzung: Seien $\begin{eqnarray} X_1, \ldots ,X_n \end{eqnarray}$ iid-Zufallsvariablen (d.h. die Xi haben die gleiche Verteilung und die Familie der Zufallsvariablen X_1, ..., X_n ist unabhängig). Es gebe ein h > 0, so dass $\begin{eqnarray} M_{X_i}(t) := E[e^{X_it}] \end{eqnarray}$ Behauptung: $\begin{eqnarray} M_{\sum\limits_{i=1}^{n}X_i}(t) = \prod\limits_{i=1}^{n}M_{x_i}(t) \end{eqnarray}$ auf einer offenen Umgebung der Null. Meine Beweisidee: Als offene Umgebung um die Null wählt man die "Epsilon-Kugel" mit Radius h. Dann gilt dort: $\begin{eqnarray} M_{\sum\limits_{i=1}^{n}X_i}(t)=E[e^{\sum\limits_{i=1}^{n}X_i t}]=E[\prod\limits_{i=1}^{n}e^{X_i t}] \end{eqnarray}$ Bei iid-Zufallsvariablen darf man ja das Produkt aus dem Erwartungswert rausziehen (dann wären wir fertig) und die X_1,...X_n sind ja iid. Allerdings haben wir hier noch die e-Funktion drin. Kann man hier trotzdem irgendwie auf die Unabhängigkeit der X_1,...,X_n zurückgreifen oder wie geht man hier am besten vor? Was mich die ganze Zeit verwirrt ist die Notation $\begin{eqnarray} X_i t \end{eqnarray}$ . X_i ist eine (i.A. nicht lineare) Funktion und t eine reelle Zahl. Ist damit trotzdem X_i(t) gemeint oder was bedeutet das?
09.06.2012, 20:41	Kimi_R	Auf diesen Beitrag antworten »
Keiner einer Idee?

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