Normalteiler

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08.06.2012, 17:54	Pfirsichtee	Auf diesen Beitrag antworten »
Normalteiler Hallo, ich versuche mich gerade an folgender Aufgabe : Sei G eine Gruppe. Zeigen Sie, dass $\begin{eqnarray} Z:= ( g \in G \| \forall h \in G : gh=hg ) \end{eqnarray}$ ein Normalteiler von G ist, und dass G/Z zur Gruppe der inneren Automorphismen isomorph ist. Also für Normalteiler müssen ja Rechts- und Linksnebenklassen übereinstimmen bzw. für a aus Normalteiler und b aus der Gruppe gelten, dass bab^-1 im Normalteiler liegt. Wenn ich mir nun einfach ein Element a aus Z nehme, so gilt für dieses ja $\begin{eqnarray} a \in Z => ah=ha \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \forall h \in G \end{eqnarray}$ Diese Gleichheit kann ich doch einfach interpretieren als aG = Ga oder nicht? Demnach würde die Normalteilereigenschaft ja unmittelbar aus der Definition folgen, da hier Links- und Rechtsnebenklassen übereinstimmen. Edit: Oder wenn ich mir nochmal die folgende Def. ansehe: N Normalteiler <=> $\begin{eqnarray} a \in N , b \in G => bab^{-1} \in N \end{eqnarray}$ Sei $\begin{eqnarray} a \in Z und b \in G \end{eqnarray}$ . Dann gilt: für a weiß ich ja das gilt : ab=ba für alle b aus der Gruppe. Wenn ich bei dieser Gleichung jetzt von rechts mit $\begin{eqnarray} b^{-1} \end{eqnarray}$ verknüpfe komme ich also auf $\begin{eqnarray} a = bab^{-1} \end{eqnarray}$ Ich sehe also nun, dass a gleich diesem da rechts ist. Und da a selber Element des Normalteilers ist, ist also auch $\begin{eqnarray} bab^{-1} \end{eqnarray}$ Element des Normalteilers, was ja eben der Definition entspricht. Beim Aufgabenteil des Isomorphismus bin ich noch nicht weit gekommen. Muss man da Homomorphie- / Isomorphiesatz benutzen?
08.06.2012, 18:11	jester.	Auf diesen Beitrag antworten »
Das in dem Edit ist gut. Das davor an sich auch, in der Tat folgt die Normalteilereigenschaft sofort aus der Definition, aber was soll $\begin{eqnarray} aG=Ga \end{eqnarray}$ bedeuten? Nebenklassen nach $\begin{eqnarray} G \end{eqnarray}$ sind weder sonderlich interessant noch hier von irgendeiner Bedeutung. Allenfalls $\begin{eqnarray} aZ=Za \end{eqnarray}$ für jedes $\begin{eqnarray} a\in G \end{eqnarray}$ . Für die Sache mit den Automorphismen sollte man in der Tat den Homomorphiesatz bemühen. Was ist die Definition der inneren Automorphismengruppe? Wenn du dir diese Definition nochmal ansiehst, sollte dich die Lösung schon anspringen.
09.06.2012, 00:11	Pfirsichtee	Auf diesen Beitrag antworten »
Hey, ich habe mal gerade ein wenig weitergmacht und sehe auch irgendwie ein, dass der Homomorphiesatz mir wohl am Ende behilflich sein kann. Ich habe mir bisher folgende Überlegungen gemacht: Zur Menge der inneren Automorphismen gehören all jene Automorphismen $\begin{eqnarray} \Phi : G -> Z \end{eqnarray}$ , für die es ein $\begin{eqnarray} b \in G \end{eqnarray}$ gibt, so dass $\begin{eqnarray} \Phi ( a) = bab^{-1} \end{eqnarray}$ gilt. In unserem Fall gilt ja für $\begin{eqnarray} a = bab^{-1} \end{eqnarray}$ . Somit gilt $\begin{eqnarray} \Phi ( a) = a \end{eqnarray}$ Laut Homomorphiesatz gilt für die Abbildung $\begin{eqnarray} \Phi : G -> Z \end{eqnarray}$ : $\begin{eqnarray} G/ker(\Phi) = im(\Phi) \end{eqnarray}$ Ich habe mir überlegt wie der Kern von Phi aussieht: $\begin{eqnarray} ker(\Phi) = ( x \in G \| \Phi(x) = 1_Z ) \end{eqnarray}$ Nun weiß ich ja $\begin{eqnarray} \Phi(a) = a \end{eqnarray}$ Somit besteht der Kern also nur aus $\begin{eqnarray} 1_G \end{eqnarray}$ und damit wäre $\begin{eqnarray} G/ker(\Phi) = 1_G \cdot G = G \end{eqnarray}$ Naja soweit meine Gedanken. Wenn diese Gedanken trotz meiner starken Zweifel richtig sein sollten, müsste ich ja nun nur noch zeigen, dass das Bild aller Automorphismen wieder G selber ergibt. Was hälst du von diesen sehr naiven Gedanken? Edit : Mir fällt gerade auf, dass Phi von G nach G oder von Z nach Z gehen muss als Automorphismus oder?
09.06.2012, 08:22	jester.	Auf diesen Beitrag antworten »
Da ist einiges nicht ganz ok. In der Tat geht ein Automorphismus von $\begin{eqnarray} G \end{eqnarray}$ nach $\begin{eqnarray} G \end{eqnarray}$ , und das gilt natürlich auch für innere Automorphismen. Auf die Automorphismen solltest du den Homomorphiesatz auch nicht anwenden, da passiert nichts. Versuche mal, die Gruppe der inneren Automorphismen als Bild eines Gruppenhomomorphismus $\begin{eqnarray} G\to \mathrm{Aut}(G) \end{eqnarray}$ zu realisieren.
09.06.2012, 12:21	Pfirsichtee	Auf diesen Beitrag antworten »
Na dann würde es ja darauf hinauslaufen, dass Z(G) der Kern dieser Abbildung wäre richtig? Dann würde die Behauptung wirklich unmittelbar aus dem Homomorphiesatz folgen. Als Abbildung käme also sowas wie $\begin{eqnarray} a \|-> \Phi(a) = hgh^{-1} \end{eqnarray}$ in Frage richtig? Noch zu zeigen wäre also: { $\begin{eqnarray} g \in G \| \Phi(g) = 1 \end{eqnarray}$ } $\begin{eqnarray} = ker(\Phi) = Z = \end{eqnarray}$ { $\begin{eqnarray} g \in G \| \forall h \in G : gh=hg \end{eqnarray}$ } Richtig?
09.06.2012, 12:31	jester.	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich vermute zwar, dass du jetzt die richtige Idee hast, aber es ist doch etwas unklar notiert. Ich denke jedenfalls an die Abbildung $\begin{eqnarray} \kappa ~:~ G \to \mathrm{Aut}(G), ~ g \mapsto \kappa_g \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} \kappa_g ~:~ G\to G, ~ x \mapsto g^{-1}xg \end{eqnarray}$ . In Worten: wir bilden ein Gruppenelement $\begin{eqnarray} g \end{eqnarray}$ ab auf die Abbildung (genauer: den Automorphismus) "Konjugation mit $\begin{eqnarray} g \end{eqnarray}$ ". Mache dir, falls du es nicht weißt, klar, dass $\begin{eqnarray} \kappa_g \end{eqnarray}$ in der Tat ein Automorphismus ist, und dass $\begin{eqnarray} \kappa \end{eqnarray}$ ein Gruppenhomomorphismus ist. Definitionsgemäß ist das Bild von $\begin{eqnarray} \kappa \end{eqnarray}$ die Gruppe der inneren Automorphismen von $\begin{eqnarray} G \end{eqnarray}$ . Dass der Kern von $\begin{eqnarray} \kappa \end{eqnarray}$ das Zentrum von $\begin{eqnarray} G \end{eqnarray}$ ist, ist dann glasklar.
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09.06.2012, 14:01	Pfirsichtee	Auf diesen Beitrag antworten »
Hey, ja also das ist mir natürlich klar, dass die Abbildung so aussieht und das sie ein Automorphismus ist. Den Begriff Zentrum hatten wir in der Vorlesung nicht. Aus einem Buch weiß ich also, dass das Zentrum eben dieses ab=ba ist. Jedenfalls ist mir noch nicht ganz klar, warum die Elemente aus Z der Kern sind. Wenn ich ein beliebiges Element a aus Z nehme muss ja gelten: $\begin{eqnarray} \kappa (a) = 1 \end{eqnarray}$ Nun ist aber $\begin{eqnarray} \kappa (a) = g^{-1}ag \end{eqnarray}$ Da für diese a ja auch gilt : ag=ga für alle g aus G, ist äquivalent dazu : a = gag^-1 $\begin{eqnarray} \kappa (a) = g^{-1}gag^{-1}g = a \end{eqnarray}$ Naja das dieses Ergebnis herauskommt ist nicht sehr überraschend, aber müssen wir hier nicht audf 1 kommen?
09.06.2012, 14:14	tmo	Auf diesen Beitrag antworten »
Dass $\begin{eqnarray} a \in G \end{eqnarray}$ aus dem Kern von $\begin{eqnarray} \kappa \end{eqnarray}$ kommt, bedeutet doch in diesem Fall: $\begin{eqnarray} \kappa_a := \kappa(a) = \operatorname{id} \end{eqnarray}$ (Das neutrale Element der Automorphismengruppe). Die Schreibweise $\begin{eqnarray} \kappa(a) = g^{-1}ag \end{eqnarray}$ ist übrigens falsch, hast du jesters Post nicht gelesen? Wenn dann (wenn du ein bel. Element aus dem Zerntrum mal a nennst und nachrechnen willst, dass es im Kern liegt) macht sowas wie: $\begin{eqnarray} \kappa_a(x) = a^{-1}xa \end{eqnarray}$ Sinn. Und da kommt ja dann x raus. Und genau das ist doch zu zeigen. Wenn du das verstanden hast, dann musst du auch noch einsehen, warum auch die andere Inklusion gilt, d.h. warum jedes Kernelement im Zentrum liegen muss.
12.06.2012, 08:38	Pfirsichtee	Auf diesen Beitrag antworten »
Hey, ich wollte nur mal Bescheid geben, dass ich momentan übelst krank bin und deswegen gerade nicht weitermache. X_X Ja tmo da habe ich wohl nicht richtig aufgepasst. Deine Gedanken kann ich auch gut nachvollziehen. Die andere Implikation schau ich mir dann später nochmal an.
13.06.2012, 15:12	Pfirsichtee	Auf diesen Beitrag antworten »
Hey, also die andere Richtung hätte ichcwie folgt gelöst: Für [latex] x \in ker(\Phi) [\latex] gilt ja [latex] \Phi (x) = x = hh^{-1}xh^{-1}h = \Phi ( h{-1}xh^{-1} [\latex] Passt das so ungefähr?

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