Adjungierte Abbildung berechnen

08.06.2012, 20:16

Savior

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Adjungierte Abbildung berechnen

Hey, ich habe folgende Aufgabe zu lösen, bei der so meine Probleme habe unglücklich

unglücklich

Meine Frage

Sei $\begin{eqnarray*} V := {p \in \mathbb K [X] | deg(p) \leq 2} \end{eqnarray*}$ versehen mit dem Skalarprodukt

$\begin{eqnarray*} <p,q>:=\int_{-1}^{1} \! p(t)q(t) \, dt \end{eqnarray*}$

und $\begin{eqnarray*} \phi:V \rightarrow \mathbb K [X]; p \rightarrow p' \end{eqnarray*}$ , wobei p' die Ableitung von p bezeichne. Berechnen Sie $\begin{eqnarray*} \phi^*(2+7X-3X^2) \end{eqnarray*}$

Meine Ideen

Mir fehlt leider jeglicher Ansatz, ich weiß einfach nicht so recht wie man das berechnen kann, hoffe jemand kann mir beim Ansatz auf die Sprünge helfen.
Mein größtes Problem ist hier $\begin{eqnarray*} \phi^*(2+7X-3X^2) \end{eqnarray*}$ , ich weiß nicht sorecht was damit genau gemeint ist unglücklich

unglücklich

08.06.2012, 20:24

DP1996

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RE: Adjungierte Abbildung berechnen

Zitat:

Original von Savior
Sei $\begin{eqnarray*} V := {p \in \mathbb K [X] | deg(p) \leq 2} \end{eqnarray*}$ versehen mit dem Skalarprodukt

geschweifte Klammern funktionieren mit \left\{ bzw. \right\} besser Augenzwinkern

Augenzwinkern

$\begin{eqnarray*} \phi \end{eqnarray*}$ ist doch eine Funktion, also auch $\begin{eqnarray*} \phi^* \end{eqnarray*}$ . Und $\begin{eqnarray*} 2+7X-3X^2 \end{eqnarray*}$ ist einfach den Vektor, den du "in die Funktion reinsteckst".

08.06.2012, 20:46

Savior

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Danke für den Tip mit den Klammern, hab mich schon immer gefragt wie das geht Freude

Freude

Mein Problem bei dem $\begin{eqnarray*} \phi^* \end{eqnarray*}$ ist, dass ich nicht verstehe wie hier die Funktion genau aussieht, ich verstehe die ganze Thematik mit der Adjungiertheit noch nicht so recht, haben die erst vor kurzem eingeführt in der VL unglücklich

unglücklich

Wie genau kann ich eine adjungierte Funktion bestimmen aus der normalen? verwirrt

verwirrt

Danke schonmal für deine Antwort smile

smile

08.06.2012, 20:53

DP1996

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Ich kenn adjungierte Abbildungen ja als Abbildungen, für die $\begin{eqnarray*} \phi^*=\phi^{-1} \end{eqnarray*}$ gilt.

08.06.2012, 21:44

Savior

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Ahhh das hilft schonmal weiter smile

smile

Somit wäre $\begin{eqnarray*} \phi^*:\mathbb K [X] \rightarrow V; p' \rightarrow p \end{eqnarray*}$

Setzt man dann $\begin{eqnarray*} (2+7X-3X^2) \end{eqnarray*}$ in $\begin{eqnarray*} \phi^* \end{eqnarray*}$ ein, erhält man

$\begin{eqnarray*} \phi^*(2+7X-3X^2)=(2X+\frac{7}{2}X^2-X^3) \end{eqnarray*}$

Wäre das bis hierhin so richtig?

Jetzt dachte ich daran dies in das Skalarprodukt einzusetzen, jedoch stellt sich nun die Frage was hier das q wäre?
das ist ja nicht gegeben, oder ist die Idee falsch? verwirrt

verwirrt

09.06.2012, 09:44

DP1996

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Zitat:

das ist ja nicht gegeben, oder ist die Idee falsch?

Ich merk grad selber, dass meine Bemerkung von gestern abend n wengele falsch war (die gilt nämlich blos, wenn man eine orthogonale Basis gewählt hat), sorry deswegen.

Die übliche Definition läuft tatsächlich über das Skalarprodukt, und zwar ist f* adjungierte Abbildung von f: V->W, wenn für alle x aus V und y aus W gilt:
<f(x), y>=<x, f*(y)>

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10.06.2012, 12:50

Savior

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Alles klar, kein Problem smile

smile

Also das hießt es gilt hier folgendes

$\begin{eqnarray*} <\phi(p),q>=<p,\phi^*(q)> \end{eqnarray*}$

Also gilt hier

$\begin{eqnarray*} <p,\phi^*(q)>=<p,\phi^*(2+7X-3X^2)>=<\phi(p),(2+7X-3X^2)> \end{eqnarray*}$

Falls das nun so korrekt ist, stehe ich aber jetzt etwas auf der Stelle, also das q für das Skalarprodukt wäre nun $\begin{eqnarray*} (2+7X-3X^2) \end{eqnarray*}$

Was genau ist aber das p? Für $\begin{eqnarray*} \phi \end{eqnarray*}$ gilt ja $\begin{eqnarray*} \phi:V \rightarrow \mathbb K [X]; p \rightarrow p' \end{eqnarray*}$ , nur wie ich das zu p genau zu wählen habe, das will mir irgendwie nicht klar werden unglücklich

unglücklich

10.06.2012, 13:06

DP1996

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Es ist korrekt.

Zitat:

Was genau ist aber das p?

Die Gleichheit der beiden Skalarprodukte muss für alle p aus V gelten, deswegen hat dieses p mit dem in der Funktionsvorschrift nur bedingt etwas zu tun.

Du hast also: $\begin{eqnarray*} <p,\phi^*(2+7X-3X^2)>=<p',2+7X-3X^2> \end{eqnarray*}$ für alle p aus V

10.06.2012, 14:08

Savior

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Ok danke

smile

Nur leider komme ich damit nicht wirklich weiter, wie ich auf mein p bzw p' kommen soll?
Das einzige dass ich bezüglich von p' sagen kann ist $\begin{eqnarray*} deg(p') \leq 1 \end{eqnarray*}$
Also hätte p' die form $\begin{eqnarray*} a+bX \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} a,b\in \mathbb R \end{eqnarray*}$
Somit würde für mein Skalarprodukt gelten

$\begin{eqnarray*} <p',q>=\int_{-1}^1 \! p'(t)q(t) \, dt=\int_{-1}^1 \! (a+bt)(2+7t-3t^2) \, dt=\int_{-1}^1 \! a(2+t-3t^2)+b(2t+7t^2-3t^3) \, dt \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} =a\int_{-1}^1 \! (2+t-3t^2)dt \, dt+b\int_{-1}^1 \! (2t+7t^2-3t^3) \, dt=a\left[2t+\frac{1}{2}t^2-t^3\right]_{-1}^{1}+b\left[t^2+\frac{7}{3}t^3-\frac{3}{4}t^4\right]_{-1}^{1} \end{eqnarray*}$
= $\begin{eqnarray*} 2a+\frac{14}{3}b \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} a,b\in \mathbb R \end{eqnarray*}$

Kann man das so machen, oder muss p' explizit angegeben werden?

10.06.2012, 14:18

DP1996

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Das kann man so machen, allerdings hast du nach dem 3. gleichheitszeichen im ersten Summanden deine 7 vor dem t verschlampt.

10.06.2012, 14:22

Savior

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Stimmt muss ich übersehen haben, komme dann aber auf das gleiche Ergebniss

Danke für deine Hilfe Mit Zunge

Mit Zunge

10.06.2012, 14:23

DP1996

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Weshalb danke? noch bist du nicht fertig, auch wenn nicht mehr viel fehlt!

10.06.2012, 14:27

Savior

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Oh dachte eigentlich das wäre das Ergebnis, hab mich da wohl zu früh gefreut geschockt

geschockt

Aber was genau fehlt noch, ich hab ja jetzt ein Ergebnis raus bekommen verwirrt

verwirrt

10.06.2012, 14:36

DP1996

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Du musst $\begin{eqnarray*} \phi^*(2+7X-3X^2) \end{eqnarray*}$ bestimmen.

Du weißt, dass $\begin{eqnarray*} <p(t), \phi^*(2+7X-3X^2)> = 2a+\frac{14}{3}b \end{eqnarray*}$ . (Wegen der Definition der adjungierten Abbildung).

Aus der Bilinearität des Skalarprodukts folgt, dass $\begin{eqnarray*} <p(t), \phi^*(2+7X-3X^2)> = \phi^*(2+7X-3X^2) < p(t), 1> \end{eqnarray*}$

Wenn du jetzt beides kombinierst und das untere Skalarprodukt ausrechnest, kommst du auf Phi.

10.06.2012, 15:01

Savior

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Stimmt natürlich, es muss ja $\begin{eqnarray*} \phi^*(2+7X-3X^2) \end{eqnarray*}$ berechnet werden Forum Kloppe

Forum Kloppe

Mit $\begin{eqnarray*} <p(t), \phi^*(2+7X-3X^2)> = 2a+\frac{14}{3}b \end{eqnarray*}$

und $\begin{eqnarray*} <p(t), \phi^*(2+7X-3X^2)> = \phi^*(2+7X-3X^2) < p(t), 1> \end{eqnarray*}$ folgt somit

$\begin{eqnarray*} \phi^*(2+7X-3X^2) < p(t), 1>=2a+\frac{14}{3}b \end{eqnarray*}$

Also $\begin{eqnarray*} \phi^*(2+7X-3X^2)=\frac{2a+\frac{14}{3}b}{< p(t), 1>} \end{eqnarray*}$

Bleibt also $\begin{eqnarray*} < p(t), 1> \end{eqnarray*}$ auszurechnen, es gilt mit $\begin{eqnarray*} p(t)=a+bt+ct^2 \end{eqnarray*}$ (mit $\begin{eqnarray*} a,b,c \in \mathbb R) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \int_{-1}^1 \! p(t) \, dt=\int_{-1}^1 \! (a+bt+ct^2) \, dt=\left[at+\frac{1}{2}bt^2+\frac{1}{3}ct^3\right]_{-1}^{1}=2a+\frac{2}{3}c \end{eqnarray*}$

Damit folgt

$\begin{eqnarray*} \phi^*(2+7X-3X^2)=\frac{2a+\frac{14}{3}b}{2a+\frac{2}{3}c}=\frac{1+\frac{7b}{3a}}{1+\frac{c}{3a}} \end{eqnarray*}$
(mit $\begin{eqnarray*} a,b,c \in \mathbb R \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} a \neq 0 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} c \neq -3a \end{eqnarray*}$ )

Wäre das so richtig?

10.06.2012, 15:05

DP1996

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Entschuldige bitte, ich merke grad, dass die Bilinearität natürlich nur bei Skalarmultiplikation funktionier. aber phi* ist ja gar kein Skalar Forum Kloppe

Forum Kloppe

Blos fehlt mir grad jeglicher Ansatz, wie mans anders machen könnte...

10.06.2012, 15:09

Savior

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Hm schade, trotzdem danke für die Hilfe bisher smile

smile

Hffentlich komme ich noch irgendwie drauf verwirrt

verwirrt

11.06.2012, 15:54

Savior

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sonst jemand noch ne idee? komme irgendwie nicht weiter verwirrt

verwirrt

12.06.2012, 14:44

moonie

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Darf man das überhaupt so machen?
Das ganze ist ja nicht Selbstadjungiert, oder? (denn R[x] und V sind ja zwei versch. VR, auch wenn V ein UVR von R[X]ist?? ).
Dann wäre bei bei <p',q> nämlich ein anders, nicht bekanntes Skalarprodukt (es wird ja nur ein Skalarprodukt auf V definier und keines auf R[x], das wir hier andwenden müssten).

Falls es bis hierhin aber trotzdem stimmt, weiß ich leider auch nicht, wie es weiter geht.
Vllt. irgendwie mit Integration bzw. Stammfunktion berechnen?

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